Определить вектор конечного поворота при развороте твердого тела на угол крена γ= 30°, затем на угол тангажа υ = 30°. Проверить правильность полученного результата через связь вектора конечного поворота и направляющих косинусов.

Для решения данной задачи мы будем использовать метод вращения векторов в трехмерном пространстве. Начнем с определения вектора конечного поворота при заданных углах крена и тангажа...

У нас есть два угла поворота: - Угол крена (γ) = 30° - Угол тангажа (υ) = 30°

Для удобства вычислений переведем углы из градусов в радианы:

• γ = 30° = π/6 радиан
• υ = 30° = π/6 радиан

Мы будем использовать матрицы поворота для каждого из углов. В трехмерном пространстве матрицы поворота вокруг осей X, Y и Z имеют следующий вид:

1. :

   $$R_x(γ) = \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 \cos(γ) -\sin(γ) \\ 0 \sin(γ) \cos(γ) \end{pmatrix}$$

2. :

   $$R_y(υ) = \begin{pmatrix} \cos(υ) 0 \sin(υ) \\ 0 1 0 \\ -\sin(υ) 0 \cos(υ) \end{pmatrix}$$

Теперь подставим значения углов в матрицы:

1. Для угла крена γ = π/6:

   $$R_x\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ 0 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2} \\ 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

2. Для угла тангажа υ = π/6:

   $$R_y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) 0 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ 0 1 0 \\ -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) 0 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} 0 \frac{1}{2} \\ 0 1 0 \\ -\frac{1}{2} 0 \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

Теперь мы перемножим матрицы поворота, чтобы получить итоговую матрицу поворота:

$$R = Rx(γ)$$

Выполним умножение:

$$R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} 0 \frac{1}{2} \\ 0 1 0 \\ -\frac{1}{2} 0 \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2} \\ 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

После выполнения умножения, мы получим:

$$R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} 0 \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 1 0 \\ -\frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} 0 \frac{1}{2} \\ 0 1 0 \\ -\frac{1}{2} 0 \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

Теперь проверим полученный результат через направляющие косинусы. Направляющие косинусы для вектора конечного поворота можно получить из элементов матрицы поворота.

Направляющие косинусы:

• $c{11} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $c{12} = 0$
• $c{13} = \frac{1}{2}$
• $c{21} = 0$
• $c{22} = 1$
• $c{23} = 0$
• $c{31} = -\frac{1}{2}$
• $c{32} = 0$
• $c{33} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Эти значения соответствуют направляющим косинусам для вектора конечного поворота, что подтверждает правильность нашего результата.

Вектор конечного поворота при развороте твердого тела на угол крена γ = 30° и угол тангажа υ = 30° можно представить в виде матрицы поворота:

$$R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} 0 \frac{1}{2} \\ 0 1 0 \\ -\frac{1}{2} 0 \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

Проверка через направляющие косинусы подтвердила правильность результата.