Определить закон изменения модуля скорости материальной точки, движущейся в плоскости, если ее движение описывается в полярной системе координат следующим законом: r(t)= a(1-bt),(ф(t)=bt /1-bt , где a и b – положительные постоянные величины. Ответ: v= под

Для решения задачи, давайте начнем с того, что у нас есть полярные координаты \( r(t) \) и \( \phi(t) \): \[ r(t) = a(1 - bt) \] \[ \phi(t) = \frac{bt}{1 - bt} \] где \(...

Скорость в полярных координатах можно выразить через радиус и угол следующим образом: \[ v = \sqrt{\dot{r}^2 + (r \dot{\phi})^2} \] где \( \dot{r} \) и \( \dot{\phi} \) – производные радиуса и угла по времени. 1. : \[ \dot{r} = \frac{d}{dt}[a(1 - bt)] = -ab \] 2. : \[ \dot{\phi} = \frac{d}{dt}\left[\frac{bt}{1 - bt}\right] \] Используем правило дифференцирования частного: \[ \dot{\phi} = \frac{(1 - bt)(b) - bt(-b)}{(1 - bt)^2} = \frac{b(1 - bt + bt)}{(1 - bt)^2} = \frac{b}{(1 - bt)^2} \] Теперь подставим найденные производные в формулу для скорости: \[ v = \sqrt{(-ab)^2 + (r \dot{\phi})^2} \] где \( r = a(1 - bt) \). Подставим \( r \) и \( \dot{\phi} \): \[ v = \sqrt{(ab)^2 + \left[a(1 - bt) \cdot \frac{b}{(1 - bt)^2}\right]^2} \] Упрощаем вторую часть: \[ = \sqrt{(ab)^2 + \left[\frac{ab(1 - bt)}{(1 - bt)^2}\right]^2} \] \[ = \sqrt{(ab)^2 + \frac{(ab)^2}{(1 - bt)^2}} \] Вынесем \( (ab)^2 \) за скобки: \[ = \sqrt{(ab)^2 \left(1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}\right)} \] Теперь упростим: \[ = ab \sqrt{1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}} \] Таким образом, модуль скорости материальной точки будет равен: \[ v = ab \sqrt{1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}} \] При этом, учитывая, что \( t \frac{1}{b} \), мы можем оставить ответ в таком виде. \[ v = ab \sqrt{1 + \frac{1}{(1 - bt)^2}}, \quad t \frac{1}{b} \]