Пластинавращается с угловой скоростью 𝜔=𝜔(𝑡)=4t. По пластине вдоль прямой АМ движется точка М соскоростью 𝑣=𝑣(𝑡)=60(t2+2t) ( направление вектора скорости 𝑣⃗ указано на чертеже). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент

Для решения задачи о движении точки М на вращающейся пластине, нам необходимо определить абсолютную скорость и абсолютное ускор...

Дано, что угловая скорость $\omega(t) = 4t$. В момент времени $t = 1$ с:

$$\omega(1) = 4 \cdot 1 = 4 \, \text{рад/с}$$

Линейная скорость точки М задана формулой $v(t) = 60(t^2 + 2t)$. В момент времени $t = 1$ с:

$$v(1) = 60(1^2 + 2 \cdot 1) = 60(1 + 2) = 60 \cdot 3 = 180 \, \text{см/с}$$

Абсолютная скорость точки М $\vec{V}$ складывается из линейной скорости $\vec{v}$ и скорости, обусловленной вращением $\vec{v}_{\text{rot}}$:

$$\vec{v}_{\text{rot}} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

где $\vec{r}$ — радиус-вектор от центра вращения до точки М. Длина радиус-вектора $r$ равна $b = 20 \, \text{см}$.

Угловая скорость $\omega$ направлена перпендикулярно радиус-вектору, поэтому:

$$\vec{v}_{\text{rot}} = \omega \cdot r$$

Вектор $\vec{v}_{\text{rot}}$ будет направлен перпендикулярно радиус-вектору. Учитывая угол $a = 45^\circ$, мы можем разложить линейную скорость на компоненты:

$$\vec{v}_{\text{rot}} = 4 \cdot 0.2 \, \text{м} = 0.8 \, \text{м/с} \quad \text{(в радианах: 0.2 м = 20 см)}$$

Теперь мы можем найти абсолютную скорость точки М:

$$\vec{V} = \vec{v} + \vec{v}_{\text{rot}}$$

Линейная скорость $\vec{v}$ направлена вдоль прямой АМ, а $\vec{v}_{\text{rot}}$ перпендикулярна. Для нахождения абсолютной скорости используем теорему о сложении векторов:

$$|\vec{V}| = \sqrt{v^2 + v_{\text{rot}}^2}$$

Подставляем значения:

$$|\vec{V}| = \sqrt{(180)^2 + (80)^2} = \sqrt{32400 + 6400} = \sqrt{38800} \approx 196.97 \, \text{см/с}$$

Абсолютное ускорение точки М складывается из тангенциального и центростремительного ускорений:

1. $a_t = \frac{dv}{dt}$:

$$a_t = \frac{d}{dt}[60(t^2 + 2t)] = 60(2t + 2) = 120(t + 1)$$

В момент времени $t = 1$:

$$a_t(1) = 120(1 + 1) = 240 \, \text{см/с}^2$$

2. $a_c = \omega^2 r$:

$$a_c = (4)^2 \cdot 20 = 16 \cdot 20 = 320 \, \text{см/с}^2$$

Теперь находим абсолютное ускорение:

$$|\vec{A}| = \sqrt{ac^2}$$

Подставляем значения:

$$|\vec{A}| = \sqrt{(240)^2 + (320)^2} = \sqrt{57600 + 102400} = \sqrt{160000} = 400 \, \text{см/с}^2$$

Таким образом, абсолютная скорость точки М в момент времени $t = 1$ с составляет примерно $196.97 \, \text{см/с}$, а абсолютное ускорение — $400 \, \text{см/с}^2$.