По какому закону должна меняться во времени масса ракеты (вместе с топливом), чтобы она во время работы оставалась неподвижной в поле тяжести Земли, если скорость u газовой струи относительно ракеты постоянна? Определите время, через которое полная масса

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением ракетного движения и законом сохранения импульса.

Шаг 1: Определение уравнения изменения массы ракеты

Согласно уравнению ракетного движения, изменение массы ракеты во времени можно описать следующим образом:

\[
\frac{dm}{dt} = -\frac{F}{u}
\]

где:
- \( dm \) — изменение массы ракеты,
- \( dt \) — изменение времени,
- \( F \) — сила, необходимая для поддержания ракеты в неподвижном состоянии (в данном случае равна весу ракеты),
- \( u \) — скорость газовой струи.

Сила тяжести, действующая на ракету, равна:

\[
F = m \cdot g
\]

где \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения.

Шаг 2: Определе...

Полная масса ракеты в момент времени \( t \): \[ m(t) = m2 - \int_0^t \frac{F}{u} dt \] где \( m2 = 13600 \, \text{кг} \) — масса топлива. Сначала найдем силу тяжести: \[ F = (m2) \cdot g = (1000 + 13600) \cdot 9.81 \approx 149,686 \, \text{Н} \] Теперь подставим это значение в уравнение изменения массы: \[ \frac{dm}{dt} = -\frac{149686}{4000} \approx -37.4215 \, \text{кг/с} \] Теперь интегрируем уравнение: \[ m(t) = m2 - 37.4215 \cdot t \] Полная масса ракеты: \[ m(0) = 1000 + 13600 = 14600 \, \text{кг} \] Чтобы найти время, через которое масса ракеты уменьшится вдвое: \[ \frac{14600}{2} = 7300 \, \text{кг} \] Решаем уравнение: \[ 7300 = 14600 - 37.4215 \cdot t \] \[ 37.4215 \cdot t = 14600 - 7300 = 7300 \] \[ t = \frac{7300}{37.4215} \approx 195.5 \, \text{с} \] Полная масса топлива: \[ m_2 = 13600 \, \text{кг} \] Время, за которое ракета израсходует весь запас топлива: \[ t2}{37.4215} \approx \frac{13600}{37.4215} \approx 363.2 \, \text{с} \] Для построения графика зависимости массы ракеты от времени используем уравнение: \[ m(t) = 14600 - 37.4215 \cdot t \] График будет линейным и будет пересекаться с осью массы в 14600 кг и опускаться до 7300 кг за 195.5 секунд, а затем продолжать снижаться до 1000 кг за 363.2 секунды. 1. Масса ракеты должна меняться по закону: \(\frac{dm}{dt} = -37.4215 \, \text{кг/с}\). 2. Время, через которое полная масса ракеты уменьшится вдвое: \(t \approx 195.5 \, \text{с}\). 3. Время, по истечении которого ракета израсходует запас топлива: \(t \approx 363.2 \, \text{с}\).