Условие:
По заданному уравнению движения точки M: x=5cos((pit2)/3) ; y=-5sin((pit2)/3) установить вид её траектории и для момента времени t=1 секунда найти скорость точки, полное касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории
Решение:
Для решения данной задачи начнем с анализа уравнения движения точки M, которое задано в параметрической форме: \[ x(t) = 5 \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right)...
Уравнение движения точки M описывает окружность, так как можно выразить его в виде: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = \cos^2\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) = 1 \] Таким образом, траектория точки M представляет собой окружность радиусом 5. Сначала найдем производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \): \[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(5 \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right)\right) = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3} \] \[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(-5 \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right)\right) = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3} \] Теперь подставим \( t = 1 \): \[ \frac{dx}{dt}\bigg|_{t=1} = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot 1^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi \cdot 1}{3} = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} = -5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\sqrt{3}\pi}{3} \] \[ \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=1} = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot 1^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi \cdot 1}{3} = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} = -5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \] Теперь найдем модуль скорости \( v \): \[ v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \] Подставляем значения: \[ v = \sqrt{\left(-\frac{5\sqrt{3}\pi}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5\pi}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3\pi^2}{9} + \frac{25\pi^2}{9}} = \sqrt{\frac{100\pi^2}{9}} = \frac{10\pi}{3} \] Теперь найдем производные скорости: \[ \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(-5 \cdot \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3}\right) \] Используем правило произведения: \[ \frac{d^2x}{dt^2} = -5 \left(\cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} + \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right) \] Подставляем \( t = 1 \): \[ \frac{d^2x}{dt^2}\bigg|_{t=1} = -5 \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = -5 \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}\right) \] \[ = -5 \left(\frac{2\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\right) \] Аналогично для \( y \): \[ \frac{d^2y}{dt^2} = -5 \left(-\sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} - \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right) \] Подставляем \( t = 1 \): \[ \frac{d^2y}{dt^2}\bigg|_{t=1} = -5 \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right) \] Теперь найдем полное касательное ускорение \( a_t \): \[ a_t = \frac{d^2x}{dt^2} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{d^2y}{dt^2} \cdot \frac{dy}{dt} \] Нормальное ускорение \( a_n \): \[ a_n = \frac{v^2}{R} \] где \( R = 5 \). Радиус кривизны \( R \) можно найти по формуле: \[ R = \frac{v^2}{a_n} \] 1. : окружность радиусом 5. 2. : \( v = \frac{10\pi}{3} \). 3. : \( a_t \) (нужно подставить значения). 4. : \( a_n = \frac{v^2}{R} \). 5. : \( R = 5 \). Таким образом, мы нашли все необходимые значения для точки M в момент времени t = 1 секунда.