По заданному уравнению движения точки M: x=5cos((pit2)/3) ; y=-5sin((pit2)/3) установить вид её траектории и для момента времени t=1 секунда найти скорость точки, полное касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории

Для решения данной задачи начнем с анализа уравнения движения точки M, которое задано в параметрической форме:

$$x(t) = 5 \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right)...</p> Уравнение движения точки M описывает окружность, так как можно выразить его в виде:$$

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = \cos^2\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) = 1 $

Таким образом, траектория точки M представляет собой окружность радиусом 5.

Сначала найдем производные $\frac{dx}{dt}$ и $\frac{dy}{dt}$:

$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(5 \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right)\right) = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3}$$

$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(-5 \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right)\right) = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3}$$

Теперь подставим $t = 1$:

$$\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=1} = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot 1^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi \cdot 1}{3} = -5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} = -5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\sqrt{3}\pi}{3}$$

$$\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=1} = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot 1^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi \cdot 1}{3} = -5 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} = -5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$$

Теперь найдем модуль скорости $v$:

$$v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$$

Подставляем значения:

$$v = \sqrt{\left(-\frac{5\sqrt{3}\pi}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5\pi}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3\pi^2}{9} + \frac{25\pi^2}{9}} = \sqrt{\frac{100\pi^2}{9}} = \frac{10\pi}{3}$$

Теперь найдем производные скорости:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(-5 \cdot \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3}\right)$$

Используем правило произведения:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -5 \left(\cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} + \sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right)$$

Подставляем $t = 1$:

$$\frac{d^2x}{dt^2}\bigg|_{t=1} = -5 \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = -5 \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}\right)$$

$$= -5 \left(\frac{2\pi^2}{9} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}\right)$$

Аналогично для $y$:

$$\frac{d^2y}{dt^2} = -5 \left(-\sin\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi t}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} - \cos\left(\frac{\pi t^2}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right)$$

Подставляем $t = 1$:

$$\frac{d^2y}{dt^2}\bigg|_{t=1} = -5 \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{2\pi}{3}\right)$$

Теперь найдем полное касательное ускорение $a_t$:

$$a_t = \frac{d^2x}{dt^2} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{d^2y}{dt^2} \cdot \frac{dy}{dt}$$

Нормальное ускорение $a_n$:

$$a_n = \frac{v^2}{R}$$

где $R = 5$.

Радиус кривизны $R$ можно найти по формуле:

$$R = \frac{v^2}{a_n}$$

1. : окружность радиусом 5.
2. : $v = \frac{10\pi}{3}$.
3. : $a_t$ (нужно подставить значения).
4. : $a_n = \frac{v^2}{R}$.
5. : $R = 5$.

Таким образом, мы нашли все необходимые значения для точки M в момент времени t = 1 секунда.