Покажите, что дифференциальное уравнение геодезических линий поверхности можно представить в виде , где - вектор нормали поверхности.

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Аналитическая механика
#Математические методы в механике

Покажите, что дифференциальное уравнение геодезических линий поверхности можно представить в виде , где - вектор нормали поверхности.

Условие:

Покажите, что дифференциальное уравнение геодезических линий поверхности $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ можно представить в виде $\boldsymbol{N} d \boldsymbol{r} d^{2} \boldsymbol{r}=0$ , где $\boldsymbol{N}$ - вектор нормали поверхности.

Решение:

Мы докажем, что условие геодезической кривой на поверхности r = r(u, v) эквивалентно тому, что в точке кривой выполняется равенство

(N, dr, d²r) = 0,

где (·, ·, ·) обозначает смешанное (троичное) векторное произведение, dr – дифференциал вектор-функции положения, d²r – второй дифференциал, а N – нормаль к поверхности. Ниже приводится подробное рассуждение.

──────────────────────────────