Условие:
Ф.И.О. студента:
Группа: 52
Точка \( M \) движется относительно тела \( D \). По заданным уравнениям относительного движения точки \( M \) и движения тела \( D \) определить для момента времени \( t=t_{1} \) абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Исходные данные:
- уравнение относительного движения точки \( M \) :
\[
O M=s{r}=s{r}(t)=75 \pi \sin \left(\frac{\pi t}{3}\right), \mathrm{CM}
\]
- уравнение движения тела:
\[x{e}=x{e}\left(t\right)=t^3+2t+100\begin{array}{l}t_1=3/2\mathrm{c}\\ R=50\mathrm{~cm}\end{array}\]
Решение:
Решение:
Для решения задачи нам нужно найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки \( M \) в момент времени \( t = t_1 = \frac{3}{2} \) с ...
Сначала найдем скорость точки \( M \) относительно тела \( D \). Для этого нам нужно взять производную уравнения относительного движения точки \( M \) по времени \( t \): \[ s_{r}(t) = 75 \pi \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \] Находим производную: \[ v{r}}{dt} = 75 \pi \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = 25 \pi^2 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \] Теперь подставим \( t = \frac{3}{2} \): \[ v_{r}\left(\frac{3}{2}\right) = 25 \pi^2 \cos\left(\frac{\pi \cdot \frac{3}{2}}{3}\right) = 25 \pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 25 \pi^2 \cdot 0 = 0 \, \text{см/с} \] Теперь найдем скорость тела \( D \) по его уравнению: \[ x_{e}(t) = t^3 + 2t + 100 \] Находим производную: \[ v{e}}{dt} = 3t^2 + 2 \] Подставим \( t = \frac{3}{2} \): \[ v_{e}\left(\frac{3}{2}\right) = 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2 = 3 \cdot \frac{9}{4} + 2 = \frac{27}{4} + 2 = \frac{27}{4} + \frac{8}{4} = \frac{35}{4} \, \text{см/с} \] Абсолютная скорость точки \( M \) определяется как сумма относительной скорости и скорости тела \( D \): \[ v{r} + v_{e} = 0 + \frac{35}{4} = \frac{35}{4} \, \text{см/с} \] Теперь найдем абсолютное ускорение точки \( M \). Для этого сначала найдем ускорение точки \( M \) относительно тела \( D \): \[ a{r}}{dt} = -25 \pi^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{25 \pi^3}{3} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \] Подставим \( t = \frac{3}{2} \): \[ a_{r}\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{25 \pi^3}{3} \sin\left(\frac{\pi \cdot \frac{3}{2}}{3}\right) = -\frac{25 \pi^3}{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{25 \pi^3}{3} \cdot 1 = -\frac{25 \pi^3}{3} \, \text{см/с}^2 \] Теперь найдем ускорение тела \( D \): \[ a{e}}{dt^2} = 6t \] Подставим \( t = \frac{3}{2} \): \[ a_{e}\left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \, \text{см/с}^2 \] Абсолютное ускорение точки \( M \) определяется как сумма относительного ускорения и ускорения тела \( D \): \[ a{r} + a_{e} = -\frac{25 \pi^3}{3} + 9 \] Таким образом, абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки \( M \) в момент времени \( t = \frac{3}{2} \) составляют: - Абсолютная скорость \( M \): \( \frac{35}{4} \, \text{см/с} \) - Абсолютное ускорение \( M \): \( -\frac{25 \pi^3}{3} + 9 \, \text{см/с}^2 \)