Формулировка задания Задано движение точки координатным способом и некоторый момент времени. Найти траекторию точки. Для заданного момента времени найти положение точки, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорение, радиус кривизны траектории.

Для решения задачи, давайте последовательно найдем все необходимые величины: положение точки, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускор...

Подставим значение \( t \) в уравнения движения: \[ x = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)^2 + 4 \] \[ y = -\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) \] Сначала найдем \( \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) \): \[ \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] Теперь подставим это значение в уравнения: \[ x = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 = 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2} \] \[ y = -\frac{1}{2} \] Таким образом, положение точки в момент времени \( t = \frac{5\pi}{3} \) равно: \[ (x, y) = \left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right) \] Скорость точки определяется как производная координат по времени: \[ v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \cos(t)^2 + 4) \] \[ v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(-\cos(t)) \] Используем правило производной: \[ v_x = 2 \cdot 2 \cos(t) (-\sin(t)) = -4 \cos(t) \sin(t) \] \[ v_y = \sin(t) \] Теперь подставим \( t = \frac{5\pi}{3} \): \[ v_x = -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \] \[ v_y = \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Скорость точки: \[ \mathbf{v} = \left(\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] Ускорение точки определяется как производная скорости по времени: \[ ax}{dt} = \frac{d}{dt}(-4 \cos(t) \sin(t)) \] \[ ay}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(t)) \] Используем правило производной: \[ a_x = -4 \left(\sin(t) \cdot \cos(t) + \cos(t) \cdot (-\sin(t))\right) = -4 \cdot \sin(t) \cdot \cos(t) \] \[ a_y = \cos(t) \] Теперь подставим \( t = \frac{5\pi}{3} \): \[ a_x = -4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \] \[ a_y = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] Ускорение точки: \[ \mathbf{a} = \left(2\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) \] Касательное ускорение \( an \) можно найти следующим образом: \[ a_t = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt} \] \[ a_n = \frac{|\mathbf{v}|^2}{R} \] Сначала найдем модуль скорости: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{vy^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2} \] Теперь найдем касательное ускорение: \[ a_t = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right) = 0 \] Нормальное ускорение: \[ a_n = \frac{|\mathbf{v}|^2}{R} \] Радиус кривизны \( R \) можно найти по формуле: \[ R = \frac{|\mathbf{v}|^3}{|\mathbf{a}|} \] Сначала найдем модуль ускорения: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{12 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} \] Теперь подставим в формулу радиуса кривизны: \[ R = \frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^3}{\frac{7}{2}} = \frac{\frac{15\sqrt{15}}{8}}{\frac{7}{2}} = \frac{15\sqrt{15}}{28} \] 1. Положение точки: \( \left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right) \) 2. Скорость: \( \mathbf{v} = \left(\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) 3. Ускорение: \( \mathbf{a} = \left(2\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) \) 4. Касательное ускорение: \( a_t = 0 \) 5. Нормальное ускорение: \( a_n = \frac{|\mathbf{v}|^2}{R} \) 6. Радиус кривизны: \( R = \frac{15\sqrt{15}}{28} \) Для визуализации всех найденных величин, нарисуйте координатную плоскость и отметьте точку \( \left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right) \). Затем нарисуйте вектор скорости \( \mathbf{v} \) и вектор ускорения \( \mathbf{a} \) из этой точки. Убедитесь, что все векторы имеют одинаковый масштаб, чтобы их можно было легко сравнить. Таким образом, мы нашли все необходимые величины и можем их изобразить на рисунке.