Формулировка задания Задано движение точки координатным способом и некоторый момент времени. Найти траекторию точки. Для заданного момента времени найти положение точки, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорение, радиус кривизны траектории.

Для решения задачи, давайте последовательно найдем все необходимые величины: положение точки, скорость, ускорение, касательное и нормальное ускор...

Подставим значение $t$ в уравнения движения:

$$x = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)^2 + 4$$

$$y = -\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$$

Сначала найдем $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$:

$$\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Теперь подставим это значение в уравнения:

$$x = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 = 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$$

$$y = -\frac{1}{2}$$

Таким образом, положение точки в момент времени $t = \frac{5\pi}{3}$ равно:

$$(x, y) = \left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$

Скорость точки определяется как производная координат по времени:

$$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \cos(t)^2 + 4)$$

$$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(-\cos(t))$$

Используем правило производной:

$$v_x = 2 \cdot 2 \cos(t) (-\sin(t)) = -4 \cos(t) \sin(t)$$

$$v_y = \sin(t)$$

Теперь подставим $t = \frac{5\pi}{3}$:

$$v_x = -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$

$$v_y = \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Скорость точки:

$$\mathbf{v} = \left(\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Ускорение точки определяется как производная скорости по времени:

ax}{dt} = \frac{d}{dt}(-4 \cos(t) \sin(t))

ay}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(t))

Используем правило производной:

$$a_x = -4 \left(\sin(t) \cdot \cos(t) + \cos(t) \cdot (-\sin(t))\right) = -4 \cdot \sin(t) \cdot \cos(t)$$

$$a_y = \cos(t)$$

Теперь подставим $t = \frac{5\pi}{3}$:

$$a_x = -4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$$

$$a_y = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Ускорение точки:

$$\mathbf{a} = \left(2\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$$

Касательное ускорение $an$ можно найти следующим образом:

$$a_t = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt}$$

$$a_n = \frac{|\mathbf{v}|^2}{R}$$

Сначала найдем модуль скорости:

$$|\mathbf{v}| = \sqrt{vy^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$$

Теперь найдем касательное ускорение:

$$a_t = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right) = 0$$

Нормальное ускорение:

$$a_n = \frac{|\mathbf{v}|^2}{R}$$

Радиус кривизны $R$ можно найти по формуле:

$$R = \frac{|\mathbf{v}|^3}{|\mathbf{a}|}$$

Сначала найдем модуль ускорения:

$$|\mathbf{a}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{12 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$$

Теперь подставим в формулу радиуса кривизны:

$$R = \frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^3}{\frac{7}{2}} = \frac{\frac{15\sqrt{15}}{8}}{\frac{7}{2}} = \frac{15\sqrt{15}}{28}$$

1. Положение точки: $\left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
2. Скорость: $\mathbf{v} = \left(\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
3. Ускорение: $\mathbf{a} = \left(2\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$
4. Касательное ускорение: $a_t = 0$
5. Нормальное ускорение: $a_n = \frac{|\mathbf{v}|^2}{R}$
6. Радиус кривизны: $R = \frac{15\sqrt{15}}{28}$

Для визуализации всех найденных величин, нарисуйте координатную плоскость и отметьте точку $\left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right)$. Затем нарисуйте вектор скорости $\mathbf{v}$ и вектор ускорения $\mathbf{a}$ из этой точки. Убедитесь, что все векторы имеют одинаковый масштаб, чтобы их можно было легко сравнить.

Таким образом, мы нашли все необходимые величины и можем их изобразить на рисунке.