Жёсткая рама закреплена в точке ( mathbf{A} ) шарнирно, а в точке B прикреплена к шарнирной опоре на катках. В точке ( C ) к раме привязан трос, перекинутый через 6лок и несущий на конце груз весом ( mathbf{P}=25 mathrm{kH} ). На раму действует пара сил с

8 октября 2025
Теоретическая механика

Условие:

Жёсткая рама закреплена в точке \( \mathbf{A} \) шарнирно, а в точке B прикреплена к шарнирной опоре на катках. В точке \( C \) к раме привязан трос, перекинутый через 6лок и несущий на конце груз весом \( \mathbf{P}=25 \mathrm{kH} \). На раму действует пара сил с моментом \( M=10 \) кHм и две силы \( F{1}=30 \mathrm{kH} \) и \( F{2}=10 \mathrm{kH} \), углы \( a{1}=45^{\circ} \) и \( a{2}=45^{\circ} \)

Определить реакции связей в точках \( A \), \( B \), вызываемые действующими нагрузками. При расчётах принять \( a=0.2 \) м.

Решение:
Освобождаясь от связей (опор А и B), прикладываем к раме реакции связей \( \mathrm{R}{\mathrm{B}} \), \( X{A} \) и \( Y_{A} \). На раму действует произвольная плоская система сил \( \{\mathrm{F}< \) sub> \( >1</ \) sub>, F2, \( P \), RB, XA, YA\} и пара с моментом М. Для определения реакций связей необходимо составить три уравнения

равновесия:
1) \( \left.\left.\sum{i=1}^{n} F{i x}=0 ; 2\right) \sum{i=1}^{n} F{i y}=0 ; 3\right) \sum{i=1}^{n} M{A}\left(\bar{F}_{i}\right)=0 \).

Определите моменты всех приложенных к раме сил относительно точки А. Ответ записать в виде десятичного числа сточностью до двух знаков после точки.
\[
M{A}(P)=\square ; \quad M{A}\left(F{1}\right)=\square ; \quad M{A}\left(F_{2}\right)=\square .
\]

Из составленных вами уравнений равновесия определите реакции связей.
\[
\mathrm{X}{\mathrm{A}}=\square \mathrm{kH} ; \quad \mathrm{Y}{\mathrm{A}}=\square \mathrm{kH} ; \quad \mathrm{R}_{\mathrm{B}}=\square \mathrm{kH} .
\]

Решение:

Для решения задачи, начнем с определения моментов всех приложенных сил относительно точки \( A \).

Шаг 1: Определение моментов сил относительно точки \( A \)

1. Момент груза \( P \):
Груз \( P = 25 \, \text{kH} \) действует вертикально вниз. Расстояние от точки \( A \) до точки \( C \) (где прикреплен трос) равно \( a = 0.2 \, \text{м} \).
\[
M_{A}(P) = P \cdot a = 25 \, \text{kH} \cdot 0.2 \, \text{м} = 5 \, \text{kH} \cdot \text{м}
\]

2. Момент силы \( F_1 \):
Сила \( F1 = 30 \, \text{kH} \) направлена под углом \( a1 = 45^{\circ} \). Для определения момента относительно точки \( A \) нужно найти горизонтальную и вертикальную составляющие силы:
\[
F{1x} = F1 \cdot \cos(a_1) = 30 \cdot \cos(45^{\circ}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 21.21 \, \text{kH}
\]
\[
F{1y} = F1 \cdot \sin(a_1) = 30 \cdot \sin(45^{\circ}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 21.21 \, \text{kH}
\]
Момент силы \( F_1 \) относительно точки \( A \) будет равен:
\[
M{A}(F1) = F_{1y} \cdot a = 21.21 \, \text{kH} \cdot 0.2 \, \text{м} \approx 4.24 \, \text{kH} \cdot \text{м}
\]

3. Мом...: Сила \( F2 = 45^{\circ} \): \[ F2 \cdot \cos(a_2) = 10 \cdot \cos(45^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 7.07 \, \text{kH} \] \[ F2 \cdot \sin(a_2) = 10 \cdot \sin(45^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 7.07 \, \text{kH} \] Момент силы \( F_2 \) относительно точки \( A \): \[ M2) = F_{2y} \cdot a = 7.07 \, \text{kH} \cdot 0.2 \, \text{м} \approx 1.41 \, \text{kH} \cdot \text{м} \] \[ M{A}(F{A}(F_{2}) = 1.41 \] Теперь составим уравнения равновесия: 1. : \[ \sum FA - F{2x} - R_B = 0 \] Подставим значения: \[ XB = 0 \quad (1) \] 2. : \[ \sum FA + R{1y} - F_{2y} = 0 \] Подставим значения: \[ YB - 25 - 21.21 - 7.07 = 0 \quad (2) \] 3. : \[ \sum MA(P) - M1) - M2) + R_B \cdot d = 0 \] Здесь \( d \) - расстояние от точки \( A \) до точки \( B \). Предположим, что \( d = 0.2 \, \text{м} \) (если не указано иное): \[ -10 + 5 + 4.24 + 1.41 + R_B \cdot 0.2 = 0 \quad (3) \] Теперь решим систему уравнений (1), (2), (3): 1. Из уравнения (3): \[ RB \cdot 0.2 = -0.65 \Rightarrow R_B = -3.25 \, \text{kH} \] 2. Подставим \( R_B \) в уравнение (1): \[ XA = 21.21 + 7.07 - 3.25 = 25.03 \, \text{kH} \] 3. Подставим \( R_B \) в уравнение (2): \[ YA = 25 + 21.21 + 7.07 = 53.28 \, \text{kH} \] \[ XA = 53.28 \, \text{kH} ; \quad R_B = -3.25 \, \text{kH} \]