На заданы гладкие скалярное поле и векторное поле . Выведите из доказанной формулы правило дифференцирования произведения в терминах векторного анализа.

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Теория государства и права (ТГП)
Автор: Кэмп

#Логика

На заданы гладкие скалярное поле и векторное поле . Выведите из доказанной формулы правило дифференцирования произведения в терминах векторного анализа.

Условие:

На $\mathbb{R}^{3}$ заданы гладкие скалярное поле $f$ и векторное поле $\vec{v}$ . Выведите из доказанной формулы правило дифференцирования произведения $\operatorname{rot}(f \vec{v})$ в терминах векторного анализа.

Решение:

Обозначим:
– f = f(x, y, z) – гладкое скалярное поле;
– v = (v₁(x, y, z), v₂(x, y, z), v₃(x, y, z)) – гладкое векторное поле.
Произведение f v даёт векторное поле с координатами (f v₁, f v₂, f v₃).
Напомним определение ротора в ℝ³. Для векторного поля A = (A₁, A₂, A₃)
rot A = (∂A₃/∂y – ∂A₂/∂z, ∂A₁/∂z – ∂A₃/∂x, ∂A₂/∂x – ∂A₁/∂y).
Применим данное определение к полю f v:
rot(f v) = (∂(f v₃)/∂y – ∂(f v₂)/∂z, ∂(f v₁...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих выражений представляет собой правило дифференцирования произведения скалярного поля $f$ и векторного поля $ \vec{v} $ под знаком ротора?

$\operatorname{rot}(f \vec{v}) = f \operatorname{rot}(\vec{v}) - (\vec{v} \cdot \nabla) f$