Дана кривая с натуральным параметром , кривизной и кручением . Пусть орт касательной к этой кривой. Для поверхности, образованной касательными к данной кривой, т.е. найти кривизны и .

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

#Кинематика машин

Дана кривая с натуральным параметром , кривизной и кручением . Пусть орт касательной к этой кривой. Для поверхности, образованной касательными к данной кривой, т.е. найти кривизны и .

Условие:

Дана кривая $\rho=\rho(s)$ с натуральным параметром $s$ , кривизной $k=k(s) \neq 0$ и кручением $\varkappa=\varkappa(s) \neq 0$ . Пусть $\mathbf{v}=\mathbf{v}(s)$ орт касательной к этой кривой. Для поверхности, образованной касательными к данной кривой, т.е.

\mathbf{r}(s, u)=\boldsymbol{\rho}(s)+u \mathbf{v}(s), \quad u>0

найти кривизны $K$ и $H$ .

Решение:

Рассмотрим кривую с натуральным параметром s, заданную вектор-функцией ρ(s) с касательной единичной векторной функцией
v(s) = t(s) = ρ′(s).
Из условия имеем кривизну k = k(s) ≠ 0 и кручение κ = κ(s) ≠ 0. Построим поверхность, образованную касательными к этой кривой, задав её параметрически в виде

r(s, u) = ρ(s) + u · t(s), u >
0.

Наша цель – найти гауссову кривизну K и среднюю кривизну H данной поверхности. Далее пошагово распишем вычисления.

──────────────────────────────