Показать, что для производной векторного поля по направлению векторного поля выполняется равенство

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

#Динамика машин
#Теория колебаний машин

Показать, что для производной векторного поля по направлению векторного поля выполняется равенство

Условие:

Показать, что для производной $(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{\nabla}) \boldsymbol{a}$ векторного поля $\boldsymbol{a}$ по направлению векторного поля $\boldsymbol{b}$ выполняется равенство

2(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{\nabla}) \boldsymbol{a}=[\boldsymbol{\nabla},[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]]+\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})-\boldsymbol{a}(\boldsymbol{\nabla}, \boldsymbol{b})+\boldsymbol{b}(\boldsymbol{\nabla}, \boldsymbol{a})-[\boldsymbol{a},[\boldsymbol{\nabla}, \boldsymbol{b}]]-[\boldsymbol{b},[\boldsymbol{\nabla}, \boldsymbol{a}]] .

Решение:

Ниже приведён пошаговый вывод равенства.

Обозначим стандартные операции: точки («( , )») – скалярное произведение, квадратные скобки – векторное (крестовое) произведение, оператор (b, ∇) означает производную в направлении вектора b. При этом ∇(a, b) – градиент скалярного произведения векторов a и b, а (∇, a) – дивергенция векторного поля a.
Перепишем данное равенство, используя привычные обозначения для векторного произведения. Обозначим [a, b] = a×b, тогда
[∇, [a, b]] = ∇×(a×b),
[a, [∇, b]] = a×(∇×b),
[b, [∇, a]] = b×(∇×a).
Таки...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из перечисленных векторных тождеств является ключевым для упрощения выражения $\nabla(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$ в контексте доказательства данного равенства?

$ \nabla(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{a} \cdot \nabla)\boldsymbol{b} + (\boldsymbol{b} \cdot \nabla)\boldsymbol{a} + \boldsymbol{a} \times (\nabla \times \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{b} \times (\nabla \times \boldsymbol{a}) $

$ \nabla \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}(\nabla \cdot \boldsymbol{b}) - \boldsymbol{b}(\nabla \cdot \boldsymbol{a}) + (\boldsymbol{b} \cdot \nabla)\boldsymbol{a} - (\boldsymbol{a} \cdot \nabla)\boldsymbol{b} $

$ \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) $