Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью , где и - положительные постоянные, - расстояние от центра системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию . Исследовать полученное выражение при малых и больших , т. е. при и .

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

Условие:

Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью $\rho=\rho_{0} \exp \left(-\alpha r^{3}\right)$ , где $\rho_{0}$ и $\alpha$ - положительные постоянные, $r$ - расстояние от центра системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию $r$ . Исследовать полученное выражение при малых и больших $r$ , т. е. при $\alpha r^{3} \ll 1$ и $\alpha r^{3} \gg 1$ .

Решение:

Найдем сначала заряд, заключённый в сфере радиуса r. Благодаря сферической симметрии используем закон Гаусса, по которому вектор напряженности электрического поля E только зависит от расстояния r от центра.

Определим заряд внутри сферы радиуса r:
Общий заряд Q(r) равен объему, интегрированному по всей сфере:
Q(r) = ∫₀ʳ ρ(s)·dV = ∫₀ʳ ρ₀ exp(–α s³)·4π s² ds.
Выполним замену переменной для упрощения интеграла.
Положим u = α s³, тогда du/ds = 3α s², откуда s² ds = du/(3α).
При s = 0 получаем u = 0, а при s = r – u = α r³.
Подставля...