Цифровой фнльтр описывается разностным уравнением где -выходной, а -входной сигнал. ) Найти передаточную функцию фильтра. б) Оценить устойчивость. в) Определить, является ли фильтр физически реализуемым. г) Для найти отклик фильтра на единичный импульс и

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Теория автоматического управления
#Теория динамических систем

Условие:

Цифровой фнльтр описывается разностным уравнением

y(k)+y(k-1)+\frac{1}{2} y(k-2)=2 x(k)-x(k-1)

где $y(k)$ -выходной, а $x(k)$ -входной сигнал.\na) Найти передаточную функцию фильтра. б) Оценить устойчивость. в) Определить, является ли фильтр физически реализуемым. г) Для $y(-1)=y(-2)=0$ найти отклик фильтра на единичный импульс и функцию включения.

Решение:

a) Найдем передаточную функцию фильтра.

Разностное уравнение имеет вид:\ny(k) + y(k-1) + (1/2) y(k-2) = 2 x(k) - x(k-1)

Применим Z-преобразование к обоим сторонам уравнения. Напомним, что Z-преобразование y(k) обозначается как Y(z), а x(k) как X(z). При этом учитываем, что Z-преобразование от y(k-n) будет равно z^(-n)Y(z) и от x(k-n) будет равно z^(-n)X(z).

Применяя Z-преобразование, получаем:\nY(z) + z^(-1)Y(z) + (1/2)z^(-2)Y(z) = 2X(z) - z^(-1)X(z)

Соберем все члены с Y(z) в левой части:\nY(z)(1 + z^(-1) + (1/2)z^(-2)) = 2X(z) - z^(-1)X(...