Let be a vector space over a field and let be an endomorphism of . Let have underlying vector space . Show that if we define the Lie bracket on by and for , then is a Lie algebra and

Добавлена: 09.04.2026
Обновлена: 09.04.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Теория систем и системотехника
#Теория динамических систем

Let be a vector space over a field and let be an endomorphism of . Let have underlying vector space . Show that if we define the Lie bracket on by and for , then is a Lie algebra and

Условие:

Let $V$ be a vector space over a field $F$ and let $\varphi$ be an endomorphism of $V$ . Let $L$ have underlying vector space $V \oplus \operatorname{Span}\{x\}$ . Show that if we define the Lie bracket on $L$ by $[y, z]=0$ and $[x, y]=\varphi(y)$ for $y, z \in V$ , then $L$ is a Lie algebra and $\operatorname{dim} L^{\prime}=\operatorname{rank} \varphi$

Решение:

1. Дано

$V$ — векторное пространство над полем $F$ .
$\varphi: V \rightarrow V$ — эндоморфизм $V$ (линейное отображение).
$L$ — векторное пространство, являющееся прямым суммы $V$ и одномерного подпространства, натянутого на элемент $x$ : $L = V \oplus \operatorname{Span}\{x\}$ .
Скобки Ли определены следующим образом:

Для $y, z \in V$ : $[y, z] = 0$ .
Для $y \in V$ : $[x, y] = \varphi(y)$ .
По антикоммутативности: $[y, x] = -[x, y] = -\varphi(y)$ .
Для $x$ : $[x, x] = 0$ .