Найти спектр заряженной частицы, описываемой уравнением Дирака, в однородном постоянном магнитном поле. Запишите гамильтониан дираковской частицы в постоянном магнитном поле (чему равен скалярный потенциал?). Найдите квадрат оператора гамильтониана .

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Моделирование управляемых процессов
#Теория динамических систем

Условие:

Найти спектр заряженной частицы, описываемой уравнением Дирака, в однородном постоянном магнитном поле. Запишите гамильтониан дираковской частицы в постоянном магнитном поле (чему равен скалярный потенциал?). Найдите квадрат оператора гамильтониана $\hat{H}^2$ . Убедитесь, что $\hat{H}^2$ совпадает (с точностью до постоянного слагаемого) со знакомым вам гамильтонианом нерелятивистской частицы в однородном магнитном поле, если для этой частицы выбрать подходящие значения массы, заряда и магнитного момента этой частицы (какие значения?). Найдите собственные энергии частицы в постоянном магнитном поле. Какие квантовые числа характеризуют собственные состояния и какова степень вырождения спектра по этим квантовым числам?

Решение:

Определяем гамильтониан и скалярный потенциал.

Для частицы, описываемой уравнением Дирака, в электромагнитном поле гамильтониан имеет вид

H = α·π + βm,

где π = p – eA, а A – вектор-потенциал. Поскольку речь идёт об однородном постоянном магнитном поле, принято, что скалярный (электрический) потенциал равен нулю (A0 = 0). Матрицы α и β – стандартные дираковские матрицы.
Вычисляем квадрат гамильтониана H².

Начинаем с выражения:
H² = (α·π + βm)² = (α·π)² + m² + [α·π, β]m.
При использовании антикоммутирующих...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений о гамильтониане дираковской частицы в однородном постоянном магнитном поле является верным?

Квадрат гамильтониана $\hat{H}^2$ всегда совпадает с гамильтонианом нерелятивистской частицы в магнитном поле без каких-либо дополнительных условий.

Квадрат гамильтониана $\hat{H}^2$ содержит член, описывающий взаимодействие спина частицы с магнитным полем, и при определённых условиях (выбор массы, заряда и магнитного момента) совпадает с гамильтонианом нерелятивистской частицы.

Скалярный потенциал всегда отличен от нуля в однородном постоянном магнитном поле, что существенно влияет на вид гамильтониана.