Шарнирно-опорная балка под действием равномерно распределённой нагрузки q и сжимающей силы N прогибается. Прогиб в середине балки вычисляется по формуле = q l⁴ / EI π⁴ (cos u / cos(u/2) - 1 - u² / 2 ), где u = l√(){EI}}; EI — жёсткость балки; l — длина

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Моделирование в менеджменте
#Теория динамических систем

Условие:

Шарнирно-опорная балка под действием равномерно распределённой нагрузки q и сжимающей силы N прогибается. Прогиб в середине балки вычисляется по формуле
\nf = q l⁴ / EI π⁴\Big(cos u / cos(u/2) - 1 - u² / 2\Big),

где u = l√(){EI}}; EI — жёсткость балки; l — длина балки.

Показать, что: а) при u → 0 (EI → ∞) балка не должна прогибаться, т. е. f → 0; б) при u → π (N → π^2 EI / l^2) f → ∞, т. е. существует критическая сила, при которой балка «разрушается», что математически соответствует её бесконечному прогибу.

Решение:

Решение задачи о прогибе балки

1. Дано

Формула прогиба балки в середине:

\nf(u) = \frac{q l^4}{EI \pi^4} \left( \frac{\cos u}{\cos(u/2)} - 1 - \frac{u^2}{2} \right)

где

u = l\sqrt{\frac{N}{EI}}

2. Найти

а) $\lim_{u \to 0} f(u)$ б) $\lim_{u \to \pi} f(u)$

3. Решение

Для удобства анализа вынесем константные множители. Заметим, что $\frac{l^4}{EI} = \frac{l^4}{N} \cdot \frac{N}{EI}$ . Поскольку $u^2 = l^2 \frac{N}{EI}$ , то $\frac{l^4}{EI} = \frac{l^2 u^2}{N}$ .