В МОДЕЛИ 41 для двух наборов параметров ( А, В) найти значения параметра р2, отвечающие точкам бифуркации Андронова-Хопфа. Априорно известно, что \( {p} 2>0,0

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Моделирование управляемых процессов
#Теория динамических систем

$В МОДЕЛИ 41 для двух наборов параметров ( А, В) найти значения параметра р2, отвечающие точкам бифуркации Андронова-Хопфа. Априорно известно, что \( {p} 2>0,0$

Условие:

В МОДЕЛИ 41 для двух наборов параметров ( А, В) найти значения параметра р2, отвечающие точкам бифуркации Андронова-Хопфа. Априорно известно, что $\mathrm{p} 2>0,0<\mathrm{x} 1<1$ , а значения x 2 могут быть различных знаков. $

\begin{array}{l} \text { A) } \mathrm{p} 1=1, \mathrm{p} 3=20, \mathrm{p} 4=10, \mathrm{p} 5=0.6, \mathrm{p} 6=-5 \\ \text { B) } \mathrm{p} 1=0.5, \mathrm{p} 3=-\infty, \mathrm{p} 5=0.8, \mathrm{p} 6=0, \mathrm{p} 4=9 \text { и } 10 . \\ \frac{\mathrm{d}_{\mathrm{x}_{1}}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{p}_{1} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{p}_{2}\left(1-\mathrm{x}_{1}\right) \exp \left(\frac{\mathrm{x}_{2}}{1+\mathrm{x}_{2} / \mathrm{p}_{3}}\right) \\ \frac{\mathrm{d}_{\mathrm{x}_{2}}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{p}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{p}_{2} \mathrm{p}_{4}\left(1-\mathrm{x}_{1}\right) \exp \left(\frac{\mathrm{x}_{2}}{1+\mathrm{x}_{2} / \mathrm{p}_{3}}\right)-\mathrm{p}_{5}\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{p}_{6}\right) . \end{array}

Решение:

Шаг 1: Определение стационарных точек

Сначала найдем стационарные точки системы, приравняв производные к нулю:

\frac{d x_1}{dt} = 0 \quad \text{и} \quad \frac{d x_2}{dt} = 0.

Подставим уравнения:

$-p_1 x_1 + p_2 (1 - x_1) \exp\left(\frac{x_2}{1 + x_2/p_3}\right) = 0$
$-p_1 x_2 + p_2 p_4 (1 - x_1) \exp\left(\frac{x_2}{1 + x_2/p_3}\right) - p_5 (x_2 - p_6) = 0$