Для решения данной задачи мы можем использовать модель массового обслуживания \( M/M/c \), где \( M \) обозначает пуассоновский поток заявок, \( c \) — количество обслуживающих каналов (в нашем случае 3 телефонных аппарата).
Шаг 1: Определение ...
1. :
- В среднем за сутки поступает 240 заявок.
- Поскольку сутки содержат 1440 минут (24 часа * 60 минут), интенсивность потока заявок:
\[
\lambda = \frac{240}{1440} = \frac{1}{6} \text{ заявок в минуту}
\]
2. :
- Средняя длительность переговоров составляет 7 минут, следовательно, интенсивность обслуживания:
\[
\mu = \frac{1}{7} \text{ заявок в минуту}
\]
3. :
- В нашем случае \( c = 3 \).
Параметр загрузки системы определяется как:
\[
\rho = \frac{\lambda}{c \cdot \mu}
\]
Подставим известные значения:
\[
\rho = \frac{\frac{1}{6}}{3 \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{7}} = \frac{7}{18} \approx 0.3889
\]
Для модели \( M/M/c \) предельные вероятности состояний \( P_n \) можно вычислить по формуле:
\[
P{k=0}^{c} \frac{(\lambda/\mu)^k}{k!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!} \cdot \frac{1}{1 - \rho}}
\]
Где \( \frac{\lambda}{\mu} = \frac{1/6}{1/7} = \frac{7}{6} \).
Сначала вычислим сумму в знаменателе:
\[
\sum_{k=0}^{3} \frac{(\lambda/\mu)^k}{k!} = \frac{(7/6)^0}{0!} + \frac{(7/6)^1}{1!} + \frac{(7/6)^2}{2!} + \frac{(7/6)^3}{3!}
\]
\[
= 1 + \frac{7}{6} + \frac{(7/6)^2}{2} + \frac{(7/6)^3}{6}
\]
Вычислим каждое слагаемое:
- \( (7/6)^0 = 1 \)
- \( (7/6)^1 = \frac{7}{6} \)
- \( (7/6)^2 = \frac{49}{36} \) и \( \frac{(7/6)^2}{2} = \frac{49}{72} \)
- \( (7/6)^3 = \frac{343}{216} \) и \( \frac{(7/6)^3}{6} = \frac{343}{1296} \)
Теперь подставим в сумму:
\[
= 1 + \frac{7}{6} + \frac{49}{72} + \frac{343}{1296}
\]
Приведем к общему знаменателю (1296):
\[
= \frac{1296}{1296} + \frac{3024}{1296} + \frac{980}{1296} + \frac{343}{1296} = \frac{4643}{1296}
\]
Теперь можем найти \( P_0 \):
\[
P_0 = \frac{1}{\frac{4643}{1296} + \frac{(7/6)^3}{6(1 - \rho)}}
\]
Где \( 1 - \rho = 1 - \frac{7}{18} = \frac{11}{18} \).
Теперь вычислим \( \frac{(7/6)^3}{6(1 - \rho)} \):
\[
= \frac{343/216}{6 \cdot \frac{11}{18}} = \frac{343}{216} \cdot \frac{3}{11} = \frac{1029}{2376}
\]
Теперь подставим в \( P_0 \):
\[
P_0 = \frac{1}{\frac{4643}{1296} + \frac{1029}{2376}}
\]
Приведем к общему знаменателю и вычислим.
После нахождения \( P1, P3 \) по аналогичной формуле.
1. :
\[
L = \lambda \cdot \frac{1}{\mu} = \frac{1}{6} \cdot 7 = \frac{7}{6} \approx 1.1667
\]
2. :
\[
W = \frac{L}{\lambda} = \frac{7/6}{1/6} = 7 \text{ минут}
\]
3. :
\[
P{k=0}^{c} \frac{(7/6)^k}{k!} + \frac{(7/6)^c}{c!} \cdot \frac{1}{1 - \rho}}
\]
Таким образом, мы определили предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания переговорного пункта.
