Условие задачи
Аня и Маша независимо друг от друга решают задачу по теории вероятностей. Аня решит её за время X, а Маша - за время Y . Величины X и Y распределены экспоненциально с параметром 𝜆=3. Обозначим минимальное время решения за L, а максимальное - за R.
(a) Найдите совместную функцию плотности 𝑓𝐿,𝑅(𝑥,𝑦).
(б) Найдите условную функцию плотности 𝑓𝐿/𝑅(𝑥/𝑦).
(в) Найдите условное ожидание E(R / L) и условную дисперсию D(R / L).
Ответ
(а) Найдем совместную функцию плотности 𝑓𝐿,𝑅(𝑥,𝑦) для случайных величин 𝐿=𝑚𝑖𝑛{𝑋,𝑌},𝑅=𝑚𝑎𝑥{𝑋,𝑌}.
Для этого построим совместную функцию распределения 𝐹𝐿,𝑅(𝑥,𝑦)(𝑥𝑦). Применяя определение совместной функции распределения и формулу включения-исключения, запишем (учитываем, что 𝑥𝑦)
здесь функция распределения экспоненциального закона с параметром 𝜆 (одинаковая для 𝑋 и 𝑌).
