На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них либо разрешает, либо запрещает движение автомобиля с вероятностью 0.5. Составить ряд распределения, найти функцию распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Построить

Для решения данной задачи мы будем использовать распределение геометрической случайной величины, так как мы ищем количество светофоров...

Каждый светофор разрешает движение с вероятностью \( p = 0.5 \) и запрещает движение с вероятностью \( q = 1 - p = 0.5 \). Пусть \( X \) — случайная величина, представляющая количество светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Тогда: - Вероятность того, что автомобиль пройдет \( k \) светофоров и остановится на \( (k+1) \)-ом светофоре, равна: \[ P(X = k) = p^k \cdot q = (0.5)^k \cdot (0.5) = (0.5)^{k+1} \] где \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \). Теперь мы можем составить ряд распределения для \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \): - \( P(X = 0) = (0.5)^{1} = 0.5 \) - \( P(X = 1) = (0.5)^{2} = 0.25 \) - \( P(X = 2) = (0.5)^{3} = 0.125 \) - \( P(X = 3) = (0.5)^{4} = 0.0625 \) - \( P(X = 4) = (0.5)^{5} = 0.03125 \) - \( P(X = 5) = (0.5)^{6} = 0.015625 \) Функция распределения \( F(x) \) определяется как сумма вероятностей для всех \( k \) до \( x \): - \( F(0) = P(X = 0) = 0.5 \) - \( F(1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.5 + 0.25 = 0.75 \) - \( F(2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.875 \) - \( F(3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 0.9375 \) - \( F(4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 = 0.96875 \) - \( F(5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 = 0.984375 \) Теперь найдем математическое ожидание \( E(X) \) и дисперсию \( D(X) \). 1. : \[ E(X) = \sum_{k=0}^{5} k \cdot P(X = k) = 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.25 + 2 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.0625 + 4 \cdot 0.03125 + 5 \cdot 0.015625 \] \[ E(X) = 0 + 0.25 + 0.25 + 0.1875 + 0.125 + 0.078125 = 0.890625 \] 2. : \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \sum_{k=0}^{5} k^2 \cdot P(X = k) = 0^2 \cdot 0.5 + 1^2 \cdot 0.25 + 2^2 \cdot 0.125 + 3^2 \cdot 0.0625 + 4^2 \cdot 0.03125 + 5^2 \cdot 0.015625 \] \[ E(X^2) = 0 + 0.25 + 0.5 + 0.5625 + 0.5 + 0.390625 = 2.203125 \] Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = 2.203125 - (0.890625)^2 = 2.203125 - 0.79296875 = 1.41015625 \] Для построения графика функции распределения \( F(x) \) и многоугольника распределения \( P(X = k) \), можно использовать программное обеспечение для построения графиков, например, Python с библиотеками Matplotlib или Excel. - Функция распределения \( F(x) \): - \( F(0) = 0.5 \) - \( F(1) = 0.75 \) - \( F(2) = 0.875 \) - \( F(3) = 0.9375 \) - \( F(4) = 0.96875 \) - \( F(5) = 0.984375 \) - Математическое ожидание \( E(X) \approx 0.890625 \) - Дисперсия \( D(X) \approx 1.41015625 \) Таким образом, мы нашли ряд распределения, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.