Условие:
Брошено две игральных кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятёрки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять
Решение:
Для решения задачи найдем условную вероятность того, что выпали две пятёрки, при условии, что сумма выпавших очков делится на пять. Обозначим с...
Событие \( A \) (выпали две пятёрки) происходит только в одном случае: когда на первой и второй кости выпала пятёрка. Всего существует \( 6 \times 6 = 36 \) возможных исходов при броске двух костей. Таким образом: \[ P(A) = \frac{1}{36} \] Теперь найдем событие \( B \) (сумма выпавших очков делится на пять). Возможные суммы, которые делятся на 5, это 5, 10 и 15. - Сумма 5: возможные комбинации (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) — всего 4 комбинации. - Сумма 10: возможные комбинации (4,6), (5,5), (6,4) — всего 3 комбинации. - Сумма 15: возможная комбинация (6,6) — всего 1 комбинация. Теперь суммируем количество благоприятных исходов: \[ \text{Всего благоприятных исходов} = 4 + 3 + 1 = 8 \] Следовательно, вероятность \( P(B) \): \[ P(B) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \] Теперь найдем вероятность \( P(A \cap B) \) (выпали две пятёрки и сумма делится на 5). Если выпали две пятёрки, то сумма равна 10, которая делится на 5. Таким образом, событие \( A \) является подмножеством события \( B \): \[ P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{36} \] Теперь подставим найденные значения в формулу для условной вероятности: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{2}{9}} = \frac{1}{36} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8} \] Условная вероятность того, что выпали две пятёрки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять, равна \( \frac{1}{8} \).