Дано 6 карточек с буквами К, О, Т, Я, Т, А. Найти вероятность а) составить слово ТОК, если выбрать наугад 3 карточки в произвольном порядке, б) составить слово КОТЯТА?

Чтобы решить задачу, давайте разберем оба пункта по отдельности.

а) Вероятность составить слово ТОК

1. Определим общее количество карточек: У нас есть 6 карточек: К, О, Т, Я, Т, А.

2. Определим количество способ...: Мы можем выбрать 3 карточки из 6. Общее количество способов выбрать 3 карточки из 6 можно вычислить с помощью формулы сочетаний: $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ где $n$ — общее количество карточек, а $k$ — количество выбираемых карточек. $ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 $

3. : Слово ТОК состоит из 3 различных букв: Т, О, К. Мы можем выбрать эти 3 буквы только одним способом, так как они уникальны.

4. : Поскольку буквы разные, количество перестановок 3 букв:

   $$P(3) = 3! = 6$$

5. : Вероятность равна количеству благоприятных исходов (перестановок слова ТОК) делённому на общее количество способов выбрать 3 карточки:

   $$P(ТОК) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

6. : Слово КОТЯТА состоит из 6 букв: К, О, Т, Я, Т, А. Здесь буква Т повторяется дважды.

7. : Поскольку буквы не все уникальны, мы используем формулу для перестановок с повторениями:

   $$P(n) = \frac{n!}{n2! \cdot ... \cdot n_k!}$$
   где $n$ — общее количество букв, а $n2, ...$ — количество повторений каждой буквы. В нашем случае:
   • Общее количество букв $n = 6$
   • Буква Т повторяется 2 раза, остальные буквы уникальны.
     $$P(КОТЯТА) = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$$

8. : Поскольку у нас есть ровно 6 карточек, мы можем выбрать их только одним способом:

   $$C(6, 6) = 1$$

9. : Вероятность равна количеству благоприятных исходов (перестановок слова КОТЯТА) делённому на общее количество способов выбрать 6 карточек:

   $$P(КОТЯТА) = \frac{360}{1} = 360$$

а) Вероятность составить слово ТОК равна $\frac{3}{10}$.

б) Вероятность составить слово КОТЯТА равна 360.