Условие:
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 129 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
Решение:
Мы ищем такое минимальное S (от 1 до 128), что выполняются два условия: 1. Петя не может выиграть за свой первый ход. То есть ни один из его ходов (добавить 1 или удвоить) не приводит к числу камней ≥129. 2. После любого хода Пети (то есть независимо от того, какое новое число камней получится: S+1 или 2·S), Ваня может одним ходом довести число камней до 129 или более. Рассмотрим по шагам. ───────────────────────────── Шаг 1. Ограничим S так, чтобы Петя не выигрывал сразу. У Пети есть два варианта хода: • При ходе «добавить 1» получаем S + 1. • При ходе «удвоить» получаем 2·S. Чтобы Пет...
