Гамильтониан системы имеет два собственных значения и . Собственные вектора, соответствующие этим значениям, в некотором представлении имеют вид: и . Записать матрицу гамильтониана в этом же представлении.

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Гамильтониан системы имеет два собственных значения и . Собственные вектора, соответствующие этим значениям, в некотором представлении имеют вид: и . Записать матрицу гамильтониана в этом же представлении.

Условие:

Гамильтониан системы имеет два собственных значения $\mathrm{E}_{1}$ и $\mathrm{E}_{2}$ . Собственные вектора, соответствующие этим значениям, в некотором представлении имеют вид: $\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{i}{1}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{i}$ . Записать матрицу гамильтониана в этом же представлении.

Решение:

Мы знаем, что гамильтониан H удовлетворяет собственному уравнению

H|ψₙ⟩ = Eₙ|ψₙ⟩, n = 1,2.

В данном случае нам даны два нормированных собственных вектора:
|ψ₁⟩ = (1/√2) [ i, 1 ]ᵀ и |ψ₂⟩ = (1/√2) [ 1, i ]ᵀ.

Поскольку собственные векторы ортонормированы (их скалярное произведение равно нулю), в произвольном базисе оператор H можно записать в виде суммы проекторов:
H = E₁|ψ₁⟩⟨ψ₁| + E₂|ψ₂⟩⟨ψ₂|.

Наша цель – найти матрицу H в том представлении, где собственные векторы имеют представленный вид.

Шаг 1. Найдём мат...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из следующих подходов является наиболее общим и корректным для построения матрицы гамильтониана, если известны его собственные значения и соответствующие им ортонормированные собственные векторы?

Использовать формулу H = E₁|ψ₁⟩⟨ψ₁| + E₂|ψ₂⟩⟨ψ₂| + … + Eₙ|ψₙ⟩⟨ψₙ|, где Eᵢ — собственные значения, а |ψᵢ⟩ — соответствующие собственные векторы.

Построить матрицу из собственных векторов, а затем умножить её на диагональную матрицу из собственных значений.

Найти обратную матрицу к матрице, составленной из собственных векторов, и умножить её на диагональную матрицу из собственных значений.