Исходные данные для моделирования СМО Составление и аналитическое решение стационарного варианта уравнений Колмогорова Длина очереди m = 3 Интенсивность потока заявок λ = 1,5 Среднее время обслуживания 1/μ = 0,25, откуда μ = 1/0,25 =4 Метод численного

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Марковские цепи
#Теория очередей

Условие:

Исходные данные для моделирования СМО
Составление и аналитическое решение стационарного варианта уравнений Колмогорова
Длина очереди m = 3
Интенсивность потока заявок λ = 1,5
Среднее время обслуживания 1/μ = 0,25, откуда μ = 1/0,25 =4
Метод численного моделирования - Марковский пр-с
Для каждого варианта необходимо:
Составить список состояний СМО;
Нарисовать граф состояний СМО;
Составить и решить систему уравнений Колмогорова;
Рассчитать следующие основные характеристики СМО:
Вероятности нахождения системы в каждом состоянии;
Вероятность отказа;
Коэффициент простоя;
Коэффициент загрузки;
Пропускная способность;
Среднее число заявок, обслуживаемое в СМО;
Средняя длина очереди;
Среднее количество занятых каналов;
Среднее время пребывания заявки в СМО;
Среднее время пребывания заявки в очереди;

Решение:

1. Дано

Исходные данные для СМО с ограниченной очередью:

Максимальная длина очереди (включая обслуживаемую заявку): $m = 3$ . Это означает, что максимальное число заявок в системе равно $m$ .
Интенсивность потока заявок (интенсивность входящего пуассоновского потока): $\lambda = 1,5$ .
Среднее время обслуживания: $1/\mu = 0,25$ .
Интенсивность обслуживания (для одного канала): $\mu = \frac{1}{0,25} = 4$ .

Поскольку нам дано, что это СМО, и не указано число каналов $c$ , мы будем предполагать, что это одноканальная СМО с ограниченной очередью ( $c=1$ ). Если бы каналов было бол...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

В одноканальной СМО с ограниченной очередью ($m=3$) и параметрами $\lambda = 1,5$, $\mu = 4$, как определяется вероятность отказа ($P_{\text{отк}}$)?

Как $P_0$ , вероятность того, что система пуста.

Как $P_m$ , вероятность того, что система находится в максимальном состоянии.

Как $1 - P_0$ , вероятность того, что канал занят.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Система массового обслуживания (СМО) — это математическая модель, описывающая процесс обслуживания заявок, поступающих в систему, имеющую ограниченные или неограниченные ресурсы (каналы обслуживания) и правила организации очереди.
Марковский процесс — это случайный процесс, для которого будущее состояние системы зависит только от её текущего состояния и не зависит от того, как это состояние было достигнуто (отсутствие последействия).
Уравнения Колмогорова (уравнения баланса) описывают изменение вероятностей состояний СМО во времени. В стационарном режиме (когда система достигает равновесия) производные вероятностей по времени равны нулю, и сумма входящих потоков вероятности в каждое состояние равна сумме исходящих потоков из этого состояния.
Коэффициент использования канала (интенсивность нагрузки) $\rho = \lambda / \mu$ , где $\lambda$ — интенсивность поступления заявок, а $\mu$ — интенсивность обслуживания одной заявки. Для одноканальной СМО с ограниченной очередью $m$ вероятности состояний $P_n$ могут быть выражены через $P_0$ и $\rho$ как $P_n = \rho^n P_0$ .
Формула Литтла связывает среднее число заявок в системе ( $L$ ), среднее время пребывания заявки в системе ( $W$ ) и эффективную интенсивность поступления заявок ( $G$ ): $L = G \cdot W$ . Аналогично для очереди: $L_q = G \cdot W_q$ .