Случайный величина Из партии в 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа { бракованных изделий, содержащихся в выборке. И Найдите

Для решения задачи о распределении случайного числа бракованных изделий в выборке, начнем с определения случайной величины \(X\), которая о...

• Общее количество изделий: (N = 25)
• Количество бракованных изделий: (K = 6)
• Количество выбранных изделий: (n = 3)

Случайная величина (X) может принимать значения (0), (1), (2) или (3) (количество бракованных изделий в выборке). Мы можем использовать гипергеометрическое распределение для нахождения вероятностей.

Формула для гипергеометрического распределения:

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

где:

• (\binom{K}{k}) — число способов выбрать (k) бракованных изделий из (K),
• (\binom{N-K}{n-k}) — число способов выбрать (n-k) исправных изделий из (N-K),
• (\binom{N}{n}) — общее число способов выбрать (n) изделий из (N).

Теперь вычислим вероятности для каждого значения (k):

1. :

   $$P(X = 0) = \frac{\binom{6}{0} \cdot \binom{19}{3}}{\binom{25}{3}} = \frac{1 \cdot 969}{2300} = \frac{969}{2300} \approx 0.4217$$

2. :

   $$P(X = 1) = \frac{\binom{6}{1} \cdot \binom{19}{2}}{\binom{25}{3}} = \frac{6 \cdot 171}{2300} = \frac{1026}{2300} \approx 0.4461$$

3. :

   $$P(X = 2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{19}{1}}{\binom{25}{3}} = \frac{15 \cdot 19}{2300} = \frac{285}{2300} \approx 0.1239$$

4. :

   $$P(X = 3) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{19}{0}}{\binom{25}{3}} = \frac{20 \cdot 1}{2300} = \frac{20}{2300} \approx 0.0087$$

Теперь мы можем записать ряд распределения:

$$\begin{align*} P(X = 0) \approx 0.4217 \\ P(X = 1) \approx 0.4461 \\ P(X = 2) \approx 0.1239 \\ P(X = 3) \approx 0.0087 \\ \end{align*}$$

1. :

   $$E(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X = k) = 0 \cdot 0.4217 + 1 \cdot 0.4461 + 2 \cdot 0.1239 + 3 \cdot 0.0087 \approx 0.4461 + 0.2478 + 0.0261 \approx 0.7200$$

2. :

   $$D(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$
   Сначала найдем (E(X^2)):
   $$E(X^2) = \sum_{k=0}^{3} k^2 \cdot P(X = k) = 0^2 \cdot 0.4217 + 1^2 \cdot 0.4461 + 2^2 \cdot 0.1239 + 3^2 \cdot 0.0087$$
   $$= 0 + 0.4461 + 0.4956 + 0.0789 \approx 1.0206$$
   Теперь подставим в формулу дисперсии:
   $$D(X) = 1.0206 - (0.7200)^2 \approx 1.0206 - 0.5184 \approx 0.5022$$

3. : Мода — это значение, которое имеет наибольшую вероятность. В нашем случае:

   $$\text{Мода} = 1 \quad (\text{так как } P(X=1) \text{ максимальна})$$

4. : Чтобы найти медиану, нужно определить, при каком значении (X) сумма вероятностей достигает 0.5. Суммируем вероятности:

• (P(X=0) \approx 0.4217)
• (P(X=1) \approx 0.4461) (сумма (0.4217 + 0.4461 \approx 0.8678))

Таким образом, медиана равна 1, так как при (X=1) мы уже превышаем 0.5.

• Математическое ожидание (E(X) \approx 0.7200)
• Дисперсия (D(X) \approx 0.5022)
• Мода (= 1)
• Медиана (= 1)