из урны содержащей 2 белых и 2 чёрных шара 2 раза извлекается шар определить математическое ожидание и дисперсию числа извлечённых шаров чёрного цвета при условии что вынутый шар в урну не возвращается

Для решения задачи о математическом ожидании и дисперсии числа извлечённых чёрных шаров из ...

При извлечении двух шаров из урны, не возвращая их обратно, возможны следующие исходы:

1. Чёрный, Чёрный (CC)
2. Чёрный, Белый (CB)
3. Белый, Чёрный (BC)
4. Белый, Белый (BB)

Теперь определим вероятности каждого из этих исходов:

1. Вероятность извлечения двух чёрных шаров (CC):

   • Вероятность первого чёрного: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   • Вероятность второго чёрного: $\frac{1}{3}$
   • Общая вероятность: $P(CC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

2. Вероятность извлечения чёрного и белого шара (CB):

   • Вероятность первого чёрного: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   • Вероятность второго белого: $\frac{2}{3}$
   • Общая вероятность: $P(CB) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

3. Вероятность извлечения белого и чёрного шара (BC):

   • Вероятность первого белого: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   • Вероятность второго чёрного: $\frac{2}{3}$
   • Общая вероятность: $P(BC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

4. Вероятность извлечения двух белых шаров (BB):

   • Вероятность первого белого: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   • Вероятность второго белого: $\frac{1}{3}$
   • Общая вероятность: $P(BB) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Теперь определим математическое ожидание числа извлечённых чёрных шаров. Обозначим количество чёрных шаров в каждом исходе:

• CC: 2 чёрных шара
• CB: 1 чёрный шар
• BC: 1 чёрный шар
• BB: 0 чёрных шаров

Теперь вычислим математическое ожидание $E(X)$:

$$E(X) = 2 \cdot P(CC) + 1 \cdot P(CB) + 1 \cdot P(BC) + 0 \cdot P(BB)$$

Подставим вероятности:

$$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{6}$$

$$E(X) = \frac{2}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Теперь найдем дисперсию $D(X)$. Для этого сначала найдем $E(X^2)$:

• Для исхода CC: $2^2 = 4$
• Для исхода CB: $1^2 = 1$
• Для исхода BC: $1^2 = 1$
• Для исхода BB: $0^2 = 0$

Теперь вычислим $E(X^2)$:

$$E(X^2) = 4 \cdot P(CC) + 1 \cdot P(CB) + 1 \cdot P(BC) + 0 \cdot P(BB)$$

Подставим вероятности:

$$E(X^2) = 4 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{6}$$

$$E(X^2) = \frac{4}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

Теперь можем найти дисперсию:

$$D(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$

$$D(X) = \frac{4}{3} - (1)^2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$$

Таким образом, математическое ожидание числа извлечённых чёрных шаров равно $1$, а дисперсия равна $\frac{1}{3}$.