Условие:
На отрезке длины 1 выбирают 2 точки. Какова вероятность, что расстояние между ними не превосходит 1/8? Нарисовать рисунок и решить задачу
Решение:
Для решения задачи начнем с визуализации. Мы будем рассматривать отрезок длины 1, на котором выбираем две точки, обозначим их как \(X1\) и \(X2\). Эти...
Поскольку \(X2\) могут принимать любые значения от 0 до 1, мы можем представить их выбор в виде квадрата на координатной плоскости, где одна ось будет представлять \(X2\). Таким образом, весь квадрат будет иметь стороны длиной 1, и его площадь будет равна 1. Нам нужно найти вероятность того, что расстояние между двумя точками не превосходит \( \frac{1}{8} \). Это можно записать как: \[ |X2| \leq \frac{1}{8} \] Условие \( |X2| \leq \frac{1}{8} \) можно переписать в виде двух неравенств: \[ X1 \leq X_2 + \frac{1}{8} \] Теперь мы можем нарисовать линии, которые ограничивают область, удовлетворяющую этому условию. 1. Линия \(X2 + \frac{1}{8}\) будет пересекать ось \(X2\) в точке \((1, \frac{7}{8})\). 2. Линия \(X2 - \frac{1}{8}\) будет пересекать ось \(X2\) в точке \((\frac{1}{8}, 0)\). Теперь мы можем определить площадь области, удовлетворяющей условию \( |X2| \leq \frac{1}{8} \). Эта область будет представлять собой параллелограмм, ограниченный вышеупомянутыми линиями и границами квадрата. 1. Параллелограмм будет иметь высоту \( \frac{1}{8} \) и ширину \( 1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \). 2. Площадь параллелограмма можно вычислить как: \[ \text{Площадь} = \text{ширина} \times \text{высота} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{32} \] Теперь, чтобы найти вероятность, мы делим площадь области, удовлетворяющей условию, на общую площадь квадрата: \[ P = \frac{\text{Площадь области}}{\text{Площадь квадрата}} = \frac{\frac{3}{32}}{1} = \frac{3}{32} \] Таким образом, вероятность того, что расстояние между двумя случайно выбранными точками на отрезке длины 1 не превосходит \( \frac{1}{8} \), равна: \[ \boxed{\frac{3}{32}} \]