Условие:
На плоскости отметили вершины неравнобедренного прямоугольного треугольника ABC , центр его описанной окружности О , центр вписанной окружности I и центры вневписанных окружностей x, y, z . Наудачу выбираются три точки из отмеченных восьми. Какова вероятность, что эти три точки лежат на одной прямой?
Решение:
Шаг 1. Определим множество отмеченных точек. Даны три вершины треугольника (A, B, C), центр описанной окружности O, центр вписанной окружности I и три центра вневписанных (эксцентрических) окружностей, которые мы обозначим I_A, I_B, I_C (то есть каждый из них соответствует исключению одного из вершин). Всего получаем 8 точек. Шаг 2. Найдём все случаи, когда три выбранные точки окажутся на одной прямой. Заметим два типа коллинеарностей. 1) В прямоугольном треугольнике описанная окружность имеет диаметр, равный гипотенузе. Поэтому её центр O – середина гипотенузы. Это значит, что если принять,...