Найдите вероятность, что \( X

Для нахождения вероятности $P(X < 2, Y < 2)$ с заданной совместной плотностью распределения $f(x)$, сначала нужно понять, что данная функция является плотностью вероятности для одной переменной $X$.

1. Проверка плотности вероятности: Убедимся, что функция $f(x)$ является корректной плотностью вероятности. Для этого нужно проверить, что интеграл от $f(x)$ по всей области определения равен 1:
   $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{\pi(e^x + e^{-x})} \, dx$$
   Заметим, что $e^x + e^{-x} = 2 \cosh(x)$, тогда:
   $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \cosh(x)} \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \text{sech}(x) \, dx$$
   Известно, что $\int_{-\infty}^{\infty} \text{sech}(x) \, dx = 2$, следовательно:
   $$\frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi}$$
   ...