Условие:
Найдите вероятность того, что из
n
наугад взятых человек
А) ровно
k
человек празднуют день рождения с вами в один день,
B) не более
m
человек родились в течение той же недели.
(Возможностью родиться
29
февраля пренебрегаем).
Алгоритм решения:
Если в схеме Бернулли
n
→
∞
,
а
p
→
0
так, что
n
p
→
a
,
то
P
m
n
→
a
m
m
!
e
−
a
для любого фиксированного значения
m
.
То есть при больших значениях
n
и при малых значениях
p
имеет место приближенное равенство
P
m
n
≈
(
n
p
)
m
m
!
e
−
n
p
Исходные данные:
n
=
525
;
k
=
2
;
m
=
10
Все ответы введите с точностью до
4
знака после запятой.
Введите вероятность события
A
:
P
(
A
)
=
Введите вероятность события
B
:
P
(
B
)
=
Решение:
Для решения задачи, давайте сначала определим необходимые параметры и используем предложенный алгоритм.
Часть A: Вероятность того, что ровно k человек празднуют день рождения с вами в один день
1. Опре...: - \( n = 525 \) (общее количество человек) - \( k = 2 \) (количество человек, празднующих день рождения с вами в один день) - Вероятность того, что один человек празднует день рождения в один день, \( p = \frac{1}{365} \) (предполагаем, что дни рождения равномерно распределены по 365 дням). 2. : \[ n \cdot p = 525 \cdot \frac{1}{365} \approx 1.4384 \] 3. : \[ P(k) \approx \frac{(n \cdot p)^k}{k!} e^{-n \cdot p} \] 4. : - \( k = 2 \) - \( k! = 2! = 2 \) - \( e^{-n \cdot p} \approx e^{-1.4384} \) 5. : \[ e^{-1.4384} \approx 0.2375 \] 6. : \[ P(A) \approx \frac{(1.4384)^2}{2} \cdot 0.2375 \] \[ P(A) \approx \frac{2.0665}{2} \cdot 0.2375 \approx 1.03325 \cdot 0.2375 \approx 0.2450 \] 1. : - \( m = 10 \) (максимальное количество человек, родившихся в течение недели) - Вероятность того, что один человек родился в течение недели, \( p = \frac{7}{365} \). 2. : \[ n \cdot p = 525 \cdot \frac{7}{365} \approx 10.0589 \] 3. : \[ P(m) \approx \sum_{k=0}^{m} \frac{(n \cdot p)^k}{k!} e^{-n \cdot p} \] 4. : \[ e^{-10.0589} \approx 0.000045 \] 5. : \[ P(B) \approx \sum_{k=0}^{10} \frac{(10.0589)^k}{k!} \cdot 0.000045 \] 6. : - Для \( k = 0 \): \( \frac{(10.0589)^0}{0!} \cdot 0.000045 \approx 0.000045 \) - Для \( k = 1 \): \( \frac{(10.0589)^1}{1!} \cdot 0.000045 \approx 0.0004526 \) - Для \( k = 2 \): \( \frac{(10.0589)^2}{2!} \cdot 0.000045 \approx 0.002271 \) - Для \( k = 3 \): \( \frac{(10.0589)^3}{3!} \cdot 0.000045 \approx 0.007617 \) - Для \( k = 4 \): \( \frac{(10.0589)^4}{4!} \cdot 0.000045 \approx 0.0192 \) - Для \( k = 5 \): \( \frac{(10.0589)^5}{5!} \cdot 0.000045 \approx 0.0385 \) - Для \( k = 6 \): \( \frac{(10.0589)^6}{6!} \cdot 0.000045 \approx 0.0637 \) - Для \( k = 7 \): \( \frac{(10.0589)^7}{7!} \cdot 0.000045 \approx 0.0905 \) - Для \( k = 8 \): \( \frac{(10.0589)^8}{8!} \cdot 0.000045 \approx 0.1130 \) - Для \( k = 9 \): \( \frac{(10.0589)^9}{9!} \cdot 0.000045 \approx 0.1260 \) - Для \( k = 10 \): \( \frac{(10.0589)^{10}}{10!} \cdot 0.000045 \approx 0.1260 \) 7. : \[ P(B) \approx 0.000045 + 0.0004526 + 0.002271 + 0.007617 + 0.0192 + 0.0385 + 0.0637 + 0.0905 + 0.1130 + 0.1260 + 0.1260 \approx 0.4670 \] - Вероятность события A: \[ P(A) \approx 0.2450 \] - Вероятность события B: \[ P(B) \approx 0.4670 \]