Условие:
Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное сред нее квадратическое отклонение в выборочная средняя xв , и объем выборки л: 8) sigma = 4 overline x{s} = 10 ,2, xв = 16
16.8, n = 25
Решение:
Для нахождения доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенного признака \(X\) с известным средним квадратическим отклонением \(\sigma\), мы будем использовать формулу для д...
Из условия задачи у нас есть следующие данные: - \(\overline{x} = 16.8\) - \(\sigma = 4\) - \(n = 25\) - Уровень надежности \(1 - \alpha = 0.99\), следовательно, \(\alpha = 0.01\). Для уровня надежности 0.99, мы ищем значение \(z\), которое соответствует \(1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995\). Используя таблицу стандартного нормального распределения, мы находим, что: \[ z \approx 2.576 \] Стандартная ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле: \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0.8 \] Теперь мы можем подставить все значения в формулу доверительного интервала: \[ \overline{x} \pm z \cdot SE \] Подставляем значения: \[ 16.8 \pm 2.576 \cdot 0.8 \] Сначала вычислим произведение: \[ 2.576 \cdot 0.8 = 2.0608 \] Теперь подставим это значение в формулу доверительного интервала: \[ 16.8 - 2.0608 \quad \text{и} \quad 16.8 + 2.0608 \] Теперь вычислим границы: 1. Нижняя граница: \[ 16.8 - 2.0608 = 14.7392 \] 2. Верхняя граница: \[ 16.8 + 2.0608 = 18.8608 \] Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания \(a\) с надежностью 0.99 составляет: \[ (14.7392, 18.8608) \]