По мишени делают серию независимых выстрелов до первого попадания. Известно, что среднее число выстрелов равно пяти. Найти вероятность того, что серия окажется не длиннее трех выстрелов.

1. Дано

• Серия независимых выстрелов до первого попадания.
• Среднее число выстрелов равно пяти: $M(X) = 5$.

2. Найти

Вероятность того, что серия окажется не длиннее трех выстрелов, то есть $P(X \le 3)$.

3. Решение

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу выстрелов до первого попадания включительно. $X$ имеет геометрическое распределение с параметром $p$ (вероятность попадания при одном выстреле).

Шаг 1: Нахождение вероятности попадания ($p$)

Для геометрического распределения среднее число испытаний до первого успеха (попадания) вычисляется по формуле: