Покажите, как преобразовать равномерное распределение на отрезке [0,1] в нормальное распределение (не стандартное, а в общем виде). Выведите именно функцию преобразования, если это возможно.

Чтобы преобразовать равномерное распределение на отрезке [0, 1] в нормальное распределение, мы можем использовать метод обратного преобразования. Давайте рассмотрим этот пр...

Равномерное распределение на отрезке [0, 1] имеет функцию распределения: \[ F_U(x) = \begin{cases} 0, x 0 \\ x, 0 \leq x \leq 1 \\ 1, x 1 \end{cases} \] Нормальное распределение с математическим ожиданием \(\mu\) и стандартным отклонением \(\sigma\) имеет функцию распределения: \[ F_N(x) = \frac{1}{2} \left( 1 + \text{erf}\left( \frac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right) \] где \(\text{erf}\) — это функция ошибок. Чтобы преобразовать равномерное распределение в нормальное, мы можем использовать следующее: 1. Сначала генерируем случайную величину \(U\) из равномерного распределения на [0, 1]. 2. Затем находим \(X\) из нормального распределения, используя обратную функцию распределения нормального распределения. Обозначим \(Y\) как случайную величину, распределенную нормально с параметрами \(\mu\) и \(\sigma\). Мы можем выразить \(Y\) через \(U\): \[ Y = F_N^{-1}(U) \] Чтобы получить функцию преобразования, нам нужно найти обратную функцию к \(FN^{-1}(U)\). Таким образом, функция преобразования будет выглядеть следующим образом: \[ Y = \mu + \sigma \cdot \sqrt{2} \cdot \text{erf}^{-1}(2U - 1) \] где \(\text{erf}^{-1}\) — это обратная функция ошибки. Таким образом, мы можем преобразовать равномерное распределение на отрезке [0, 1] в нормальное распределение с параметрами \(\mu\) и \(\sigma\) с помощью следующей функции: \[ Y = \mu + \sigma \cdot \sqrt{2} \cdot \text{erf}^{-1}(2U - 1) \] Это и есть искомая функция преобразования.