При бросании 5 игральных костей выпала по крайней мере одна единица. Какова вероятность того, что выпало две или более единицы.

Для решения этой задачи воспользуемся методом условной вероятности. Нам нужно найти вероятность того, что выпало две или более единицы, при условии, что выпала хотя бы одн...

Сначала найдем вероятность того, что выпала хотя бы одна единица. Удобнее всего рассмотреть противоположное событие — что не выпало ни одной единицы. Вероятность того, что одна кость не показывает единицу, равна \( \frac{5}{6} \). Тогда вероятность того, что ни одна из 5 костей не покажет единицу: \[ P(\text{нет единиц}) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 \] Следовательно, вероятность того, что хотя бы одна единица выпала: \[ P(B) = 1 - P(\text{нет единиц}) = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^5 \] Теперь вычислим это значение: \[ P(B) = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^5 = 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{7776 - 3125}{7776} = \frac{4651}{7776} \] Теперь найдем вероятность того, что выпало две или более единицы. Мы можем использовать метод дополнения и найти вероятность того, что выпало 0 или 1 единица. 1. : как мы уже нашли, это \( \left( \frac{5}{6} \right)^5 \). 2. : для этого мы выбираем 1 кость, которая покажет единицу, и остальные 4 кости, которые не покажут единицу. Это можно сделать следующим образом: \[ P(\text{1 единица}) = \binom{5}{1} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^1 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^4 \] Теперь вычислим это значение: \[ P(\text{1 единица}) = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776} \] Теперь найдем \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = 1 - P(\text{0 единиц}) - P(\text{1 единица}) = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^5 - \frac{3125}{7776} \] Подставим значения: \[ P(A \cap B) = 1 - \frac{3125}{7776} - \frac{3125}{7776} = 1 - \frac{6250}{7776} = \frac{7776 - 6250}{7776} = \frac{1526}{7776} \] Теперь подставим найденные значения в формулу условной вероятности: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1526}{7776}}{\frac{4651}{7776}} = \frac{1526}{4651} \] Таким образом, вероятность того, что выпало две или более единицы, при условии, что выпала хотя бы одна единица, равна: \[ P(A | B) = \frac{1526}{4651} \]