Пусть случайные величины и независимы и имеют геометрическое распределение с параметром . Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Пусть случайные величины и независимы и имеют геометрическое распределение с параметром . Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Условие:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют геометрическое распределение с параметром $p$ . Найти: а) $\mathrm{P}(\xi=\eta)$ ; б) $\mathrm{P}(\xi>\eta)$ ; в) $\mathrm{P}(\xi+\eta=k)$ ; г) $\mathrm{P}(\xi=l \mid \xi+\eta=k)$ ; д) $\mathrm{P}(\xi=k \mid \xi=\eta)$ .

Решение:

Рассмотрим две независимые случайные величины ξ и η, каждая из которых имеет геометрическое распределение с параметром p. Это означает, что

P(ξ = n) = p·(1–p)^(n–1), n = 1, 2, … (аналогично для η).

Найдём P(ξ = η). По определению, это вероятность того, что обе величины равны некоторому n:
P(ξ = η) = Σ[n=1,∞] P(ξ = n)·P(η = n)
= Σ[n=1,∞] [p·(1–p)^(n–1)]²
= p² Σ[n=1,∞] (1–p)^(2(n–1)).
Заметим, что сумма является геометрической прогрессией с первым членом 1 и знаменателем (1–p)². Поэтому
Σ[n=1,∞] (1–p)^(2(n–1))...