Условие:
Пусть X1, ..., Xn - выборка из экспоненциального распределения Exp(θ), θ > 0. Мы наблюдаем, однако, лишь первые r минимальных значений Y1, ..., Yr, Yj = X(j). Найдите оценку максимального правдоподобия для неизвестного параметра θ. Другими словами: • Дана случайная выборка из экспоненциального распределения. • Доступна информация только о наименьших r значениях в этой выборке (порядковые статистики). • Требуется найти оценку максимального правдоподобия (ОМП) для параметра θ (или, эквивалентно, λ = 1/θ) на основе этих r наименьших значений.
Решение:
Для нахождения оценки максимального правдоподобия (ОМП) для параметра θ в данной задаче, следуем следующим шагам: 1. Определение функции правдоподобия: Поскольку X1, ..., Xn имеют экспоненциальное распределение с параметром θ, их плотность вероятности задана формулой: f(x; θ) = (1/θ) * exp(-x/θ) для x ≥ 0. Поскольку мы наблюдаем только r минимальных значений Y1, ..., Yr, то мы можем записать функцию правдоподобия для этих значений. Порядковые статистики Yj равны X(j) для j = 1, 2, ..., r. 2. Распределение порядковых статистик: Для экспоненциального распределения, минимальные значения Y...