Пусть - наблюдаемое значение случайной величины, имеющей биномиальное распределение , или, другими словами, - число «успехов» в независимых испытаниях, причем - вероятность «успеха» в одном испытании. Найти МП-оценку параметра . Показать, что полученная

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория случайных величин
#Математическая статистика

Пусть - наблюдаемое значение случайной величины, имеющей биномиальное распределение , или, другими словами, - число «успехов» в независимых испытаниях, причем - вероятность «успеха» в одном испытании. Найти МП-оценку параметра . Показать, что полученная

Условие:

Пусть $x$ - наблюдаемое значение случайной величины, имеющей биномиальное распределение $B(n, p)$ , или, другими словами, $x$ - число «успехов» в $n$ независимых испытаниях, причем $p$ - вероятность «успеха» в одном испытании. Найти МП-оценку параметра $p$ . Показать, что полученная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной.

Решение:

Пусть x – наблюдаемое число успехов в n независимых испытаниях. Тогда функция правдоподобия для параметра p имеет вид
L(p) = C(n, x) · p^x · (1 – p)^(n – x).
Запишем логарифм функции правдоподобия:
ln L(p) = ln C(n, x) + x · ln p + (n – x) · ln(1 – p).
Для нахождения МНКоценки (MLE) параметра p необходимо максимизировать ln L(p). Производная по p равна
d/dp ln L(p) = x/p – (n – x)/(1 – p).
Приравниваем производную к нулю:
x/p – (n – x)/(1 – p) =
0.
Умножим обе части равенства на...