Распределение вероятностей значений некоторой величины Х описывается функцией f(x)=Ax(L-x) при 0 ≤ x ≤ L . Вне этого интервала f=0. Здесь А и L постоянные, причем L задана. Найти: а) наиболее вероятное значение х и соответствующее значение функции f; б)

Для решения данной задачи, начнем с анализа функции вероятности $f(x) = A \cdot x \cdot (L - x)$ на интервале $0 \leq x \leq L$.

Шаг 1: Найти нор...

Чтобы функция вероятности была корректной, она должна быть нормирована, то есть интеграл от функции по всему интервалу должен равняться 1:

$$\int_0^L f(x) \, dx = 1$$

Подставим $f(x)$:

$$\int_0^L A \cdot x \cdot (L - x) \, dx = 1$$

Вычислим интеграл:

$$\int0^L (Lx - x^2) \, dx = L \int0^L x^2 \, dx$$

Зная, что:

$$\int0^L x^2 \, dx = \frac{L^3}{3}$$

Подставим эти значения:

$$L \cdot \frac{L^2}{2} - \frac{L^3}{3} = \frac{L^3}{2} - \frac{L^3}{3} = \frac{3L^3 - 2L^3}{6} = \frac{L^3}{6}$$

Таким образом, получаем:

$$A \cdot \frac{L^3}{6} = 1 \implies A = \frac{6}{L^3}$$

Наиболее вероятное значение $x$ соответствует максимуму функции $f(x)$. Для этого найдем производную $f(x)$ и приравняем её к нулю:

$$f(x) = \frac{6}{L^3} \cdot x \cdot (L - x)$$

Найдём производную:

$$f(x) = \frac{6}{L^3} \cdot (L - 2x)$$

Приравняем к нулю:

$$L - 2x = 0 \implies x = \frac{L}{2}$$

Теперь подставим $x = \frac{L}{2}$ в функцию $f(x)$:

$$f\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L}{2} \cdot \left(L - \frac{L}{2}\right) = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{6L^2}{4L^3} = \frac{3}{2L}$$

Теперь найдем средние значения $\langle x \rangle$ и $\langle x^2 \rangle$:

$$\langle x \rangle = \int0^L x \cdot \frac{6}{L^3} \cdot x \cdot (L - x) \, dx = \frac{6}{L^3} \int_0^L x^2 (L - x) \, dx$$

Вычислим интеграл:

$$\int0^L x^2 \, dx - \int_0^L x^3 \, dx = L \cdot \frac{L^3}{3} - \frac{L^4}{4} = \frac{L^4}{3} - \frac{L^4}{4} = \frac{4L^4 - 3L^4}{12} = \frac{L^4}{12}$$

Теперь подставим это значение:

$$\langle x \rangle = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L^4}{12} = \frac{6L}{12} = \frac{L}{2}$$

Теперь найдем $\langle x^2 \rangle$:

$$\langle x^2 \rangle = \int0^L x^2 \cdot \frac{6}{L^3} \cdot x \cdot (L - x) \, dx = \frac{6}{L^3} \int_0^L x^3 (L - x) \, dx$$

Вычислим интеграл:

$$\int0^L x^3 \, dx - \int_0^L x^4 \, dx = L \cdot \frac{L^4}{4} - \frac{L^5}{5} = \frac{L^5}{4} - \frac{L^5}{5} = \frac{5L^5 - 4L^5}{20} = \frac{L^5}{20}$$

Теперь подставим это значение:

$$\langle x^2 \rangle = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L^5}{20} = \frac{6L^2}{20} = \frac{3L^2}{10}$$

а) Наиболее вероятное значение $x = \frac{L}{2}$, соответствующее значение функции $f\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{3}{2L}$.

б) Средние значения:

• $\langle x \rangle = \frac{L}{2}$
• $\langle x^2 \rangle = \frac{3L^2}{10}$