Распределение вероятностей значений некоторой величины Х описывается функцией f(x)=Ax(L-x) при 0 ≤ x ≤ L . Вне этого интервала f=0. Здесь А и L постоянные, причем L задана. Найти: а) наиболее вероятное значение х и соответствующее значение функции f; б)

Для решения данной задачи, начнем с анализа функции вероятности \( f(x) = A \cdot x \cdot (L - x) \) на интервале \( 0 \leq x \leq L \).

Шаг 1: Найти нор...

Чтобы функция вероятности была корректной, она должна быть нормирована, то есть интеграл от функции по всему интервалу должен равняться 1: \[ \int_0^L f(x) \, dx = 1 \] Подставим \( f(x) \): \[ \int_0^L A \cdot x \cdot (L - x) \, dx = 1 \] Вычислим интеграл: \[ \int0^L (Lx - x^2) \, dx = L \int0^L x^2 \, dx \] Зная, что: \[ \int0^L x^2 \, dx = \frac{L^3}{3} \] Подставим эти значения: \[ L \cdot \frac{L^2}{2} - \frac{L^3}{3} = \frac{L^3}{2} - \frac{L^3}{3} = \frac{3L^3 - 2L^3}{6} = \frac{L^3}{6} \] Таким образом, получаем: \[ A \cdot \frac{L^3}{6} = 1 \implies A = \frac{6}{L^3} \] Наиболее вероятное значение \( x \) соответствует максимуму функции \( f(x) \). Для этого найдем производную \( f(x) \) и приравняем её к нулю: \[ f(x) = \frac{6}{L^3} \cdot x \cdot (L - x) \] Найдём производную: \[ f(x) = \frac{6}{L^3} \cdot (L - 2x) \] Приравняем к нулю: \[ L - 2x = 0 \implies x = \frac{L}{2} \] Теперь подставим \( x = \frac{L}{2} \) в функцию \( f(x) \): \[ f\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L}{2} \cdot \left(L - \frac{L}{2}\right) = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{6L^2}{4L^3} = \frac{3}{2L} \] Теперь найдем средние значения \( \langle x \rangle \) и \( \langle x^2 \rangle \): \[ \langle x \rangle = \int0^L x \cdot \frac{6}{L^3} \cdot x \cdot (L - x) \, dx = \frac{6}{L^3} \int_0^L x^2 (L - x) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ \int0^L x^2 \, dx - \int_0^L x^3 \, dx = L \cdot \frac{L^3}{3} - \frac{L^4}{4} = \frac{L^4}{3} - \frac{L^4}{4} = \frac{4L^4 - 3L^4}{12} = \frac{L^4}{12} \] Теперь подставим это значение: \[ \langle x \rangle = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L^4}{12} = \frac{6L}{12} = \frac{L}{2} \] Теперь найдем \( \langle x^2 \rangle \): \[ \langle x^2 \rangle = \int0^L x^2 \cdot \frac{6}{L^3} \cdot x \cdot (L - x) \, dx = \frac{6}{L^3} \int_0^L x^3 (L - x) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ \int0^L x^3 \, dx - \int_0^L x^4 \, dx = L \cdot \frac{L^4}{4} - \frac{L^5}{5} = \frac{L^5}{4} - \frac{L^5}{5} = \frac{5L^5 - 4L^5}{20} = \frac{L^5}{20} \] Теперь подставим это значение: \[ \langle x^2 \rangle = \frac{6}{L^3} \cdot \frac{L^5}{20} = \frac{6L^2}{20} = \frac{3L^2}{10} \] а) Наиболее вероятное значение \( x = \frac{L}{2} \), соответствующее значение функции \( f\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{3}{2L} \). б) Средние значения: - \( \langle x \rangle = \frac{L}{2} \) - \( \langle x^2 \rangle = \frac{3L^2}{10} \)