С. в. ξ, η независимы и имеют равномерное на [0, 1] распределение. Построить такую векторнозначную функцию g : R2 → R3, что g(ξ, η) имеет равномерное распределение на единичной сфере. При решении можно использовать результат задачи 4 из домашнего задания

Для того чтобы построить векторнозначную функцию \( g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \), которая преобразует независимые случайные величины \( \xi \...

Нам нужно получить точки на единичной сфере, используя два независимых случайных числа \( \xi \) и \( \eta \). Единичная сфера в трехмерном пространстве задается уравнением: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \] Для того чтобы получить равномерное распределение на сфере, мы можем использовать следующие преобразования: 1. Преобразуем \( \xi \) и \( \eta \) в углы сферической системы координат: - Угол \( \theta \) (азимутальный угол) можно взять как \( \theta = 2\pi \xi \). - Угол \( \phi \) (полярный угол) можно взять как \( \phi = \arccos(1 - 2\eta) \). Это преобразование позволяет равномерно распределить точки по сфере. Теперь мы можем выразить координаты \( (x, y, z) \) на сфере через углы \( \theta \) и \( \phi \): \[ x = \sin(\phi) \cos(\theta) \] \[ y = \sin(\phi) \sin(\theta) \] \[ z = \cos(\phi) \] Теперь мы можем записать функцию \( g \): \[ g(\xi, \eta) = \begin{pmatrix} \sin(\arccos(1 - 2\eta)) \cos(2\pi \xi) \\ \sin(\arccos(1 - 2\eta)) \sin(2\pi \xi) \\ \cos(\arccos(1 - 2\eta)) \end{pmatrix} \] Поскольку \( \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2} \), мы можем упростить: \[ g(\xi, \eta) = \begin{pmatrix} \sqrt{1 - (1 - 2\eta)^2} \cos(2\pi \xi) \\ \sqrt{1 - (1 - 2\eta)^2} \sin(2\pi \xi) \\ 1 - 2\eta \end{pmatrix} \] Функция \( g(\xi, \eta) \) теперь преобразует равномерно распределенные \( \xi \) и \( \eta \) в точки, равномерно распределенные на единичной сфере. Таким образом, мы получили искомую векторнозначную функцию \( g \), которая преобразует независимые равномерные случайные величины в точки на единичной сфере.