1. Главная
  2. Библиотека
  3. Теория вероятностей
  4. Случайная величина распределена по закону Коши \[ (x)=...
Разбор задачи

Случайная величина распределена по закону Коши \[ (x)= {a}{1+x^{2}}, { при } -

  • Предмет: Теория вероятностей
  • Автор: Кэмп
  • #Теория вероятностей и математическая статистика
  • #Теория случайных величин
Случайная величина распределена по закону Коши \[ (x)= {a}{1+x^{2}}, { при } -

Условие:

Случайная величина распределена по закону Коши

f(x)=a1+x2, при −∞<x<+∞ f(x)=\frac{a}{1+x^{2}}, \quad \text { при } \quad-\infty<x<+\infty
а) коэффициент а; б) функцию распределения F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок (−1;1)(-1 ; 1) г) выяснить существует ли E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) ?

Решение:

Дано:

Плотность вероятности случайной величины XX:

f(x)=a1+x2,x∈(−∞,+∞)f(x) = \frac{a}{1 + x^2}, \quad x \in (-\infty, +\infty)

Решение:

а) Нахождение коэффициента aa

Для того чтобы функция f(x)f(x) была плотностью вероятности, должно выполняться условие нормировки:

∫−∞+∞f(x) dx=1 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1
Подставим выражение для f(x)f(x):
∫−∞+∞a1+x2 dx=a⋅[arctan⁡(x)]−∞+∞=a⋅(π2−(−π2))=a⋅π=1 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a}{1 + x^2} \, dx = a \cdot \left[ \arctan(x) \right]_{-\infty}^{+\infty} = a \cdot \left( \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = a \cdot \pi = 1
Отсюда находим:
a=1π a = \frac{1}{\pi}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство плотности вероятности используется для нахождения коэффициента 'a' в задаче?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я