Случайная величина X имеет следующую дифференциальную функцию распределения вероятностей . Требуется: а) найти интегральную функцию распределения вероятностей; б) построить графики и ; в) найти вероятность того, что случайная величина X принимает значение

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Случайная величина X имеет следующую дифференциальную функцию распределения вероятностей . Требуется: а) найти интегральную функцию распределения вероятностей; б) построить графики и ; в) найти вероятность того, что случайная величина X принимает значение

Условие:

Случайная величина X имеет следующую дифференциальную функцию распределения вероятностей $f(x)=\frac{1}{\pi\left(x^{2}+2 x+2\right)}, x \in(-\infty,+\infty)$ . Требуется: а) найти интегральную функцию распределения вероятностей; б) построить графики $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ и $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ ; в) найти вероятность того, что случайная величина X принимает значение из интервала $(-1 ; 1) ;$ г) найти числовые характеристики случайной величины X.

Решение:

Нам дано: f(x)=1/(π(x²+2x+2)), x∈ℝ. Сначала преобразуем знаменатель квадратного трехчлена. Заметим, что
x²+2x+2 = (x²+2x+1)+1 = (x+1)²+1.
Таким образом, функция плотности принимает вид:
f(x)=1/(π[(x+1)²+1]).

а) Для нахождения интегральной функции распределения (ФРВ) F(x)=P(X≤x) вычислим интеграл:
F(x)=∫₋∞ˣ f(t) dt = (1/π)∫₋∞ˣ 1/((t+1)²+1) dt.
Сделаем замену переменной: u=t+1, тогда du=dt, при t→–∞ получаем u→–∞, при t=x – u=x+1. Интеграл становится:
F(x)=(1/π)∫₋∞^(x+1) 1/(u²+1) du.
Известно, что ∫1/(u²+1) du=arctan(u)+C, поэтому...