Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. Найти функцию плотности \( f(x) \)
Функция плотности вероятности \( f(x) \) связана с функцией распределения \( F(x) \) следующим образом:
\[
f(x) = \frac{dF(x)}{dx}
\]
Теперь найдем производную функции \( F(x) \):
\[
F(x) = \left\{
\begin{array}{c}
0, \quad x \leq 0 \\
\frac{x^{2}}{4}, \quad 0 x \leq 2 \\
1, \quad x 2
\end{array}
\right.
\]
Для \( 0 x \leq 2 \):
\[
f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{4}\right) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}
\]
Таким образом, функция плотности вероятности \( f(x) \) будет:
\[
f(x) = \left\{
\begin{array}{c}
0, \quad x \leq 0 \\
\frac{x}{2}, \quad 0 x \leq 2 \\
0, \quad x 2
\end{array}
\right.
\]
2. По...
График функции распределения \( F(x) \):
- Для \( x \leq 0 \): \( F(x) = 0 \)
- Для \( 0 x \leq 2 \): \( F(x) = \frac{x^{2}}{4} \) (парабола)
- Для \( x 2 \): \( F(x) = 1 \)
График функции плотности \( f(x) \):
- Для \( x \leq 0 \): \( f(x) = 0 \)
- Для \( 0 x \leq 2 \): \( f(x) = \frac{x}{2} \) (линейная функция)
- Для \( x 2 \): \( f(x) = 0 \)
a) \( P(X 1) \):
\[
P(X 1) = F(1) = \frac{1^{2}}{4} = \frac{1}{4}
\]
b) \( P(X \geq 1) \):
\[
P(X \geq 1) = 1 - P(X 1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]
c) \( P(-4 X \leq 1) \):
\[
P(-4 X \leq 1) = P(X \leq 1) = F(1) = \frac{1}{4}
\]
d) \( P(1 \leq X 5) \):
\[
P(1 \leq X 5) = P(X 5) - P(X 1) = F(5) - F(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]
Для нахождения математического ожидания \( M(X) \) используем формулу:
\[
M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
\]
Подставляем \( f(x) \):
\[
M(X) = \int{0}^{2} \frac{x^2}{2} \, dx
\]
Вычисляем интеграл:
\[
M(X) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^3}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
\]
Теперь найдем дисперсию \( D(X) \):
\[
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2
\]
Сначала найдем \( M(X^2) \):
\[
M(X^2) = \int{0}^{2} \frac{x^3}{2} \, dx
\]
Вычисляем интеграл:
\[
M(X^2) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^4}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2
\]
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
\[
D(X) = 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}
\]
1. Функция плотности \( f(x) \):
\[
f(x) = \left\{
\begin{array}{c}
0, \quad x \leq 0 \\
\frac{x}{2}, \quad 0 x \leq 2 \\
0, \quad x 2
\end{array}
\right.
\]
2. Графики \( F(x) \) и \( f(x) \) можно построить на координатной плоскости.
3. Вероятности:
- \( P(X 1) = \frac{1}{4} \)
- \( P(X \geq 1) = \frac{3}{4} \)
- \( P(-4 X \leq 1) = \frac{1}{4} \)
- \( P(1 \leq X 5) = \frac{3}{4} \)
4. Математическое ожидание \( M(X) = \frac{4}{3} \), дисперсия \( D(X) = \frac{2}{9} \).
