1. НСВ Х задана функцией распределения ( mathrm{F}(mathrm{x}) ). Найти: 1) Функцию ппотности ( f(x) ). 2) Построить графики ( mathrm{F}(mathrm{x}) ) и ( mathrm{f}(mathrm{x}) ). 3) Найти вероятности того, что НСВ X попадает в интервапы (a), b), c), c). 4)

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Найти функцию плотности \( f(x) \)

Функция плотности вероятности \( f(x) \) связана с функцией распределения \( F(x) \) следующим образом:

\[
f(x) = \frac{dF(x)}{dx}
\]

Теперь найдем производную функции \( F(x) \):

\[
F(x) = \left\{
\begin{array}{c}
0, \quad x \leq 0 \\
\frac{x^{2}}{4}, \quad 0 x \leq 2 \\
1, \quad x 2
\end{array}
\right.
\]

Для \( 0 x \leq 2 \):

\[
f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{4}\right) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}
\]

Таким образом, функция плотности вероятности \( f(x) \) будет:

\[
f(x) = \left\{
\begin{array}{c}
0, \quad x \leq 0 \\
\frac{x}{2}, \quad 0 x \leq 2 \\
0, \quad x 2
\end{array}
\right.
\]

2. По...

График функции распределения \( F(x) \): - Для \( x \leq 0 \): \( F(x) = 0 \) - Для \( 0 x \leq 2 \): \( F(x) = \frac{x^{2}}{4} \) (парабола) - Для \( x 2 \): \( F(x) = 1 \) График функции плотности \( f(x) \): - Для \( x \leq 0 \): \( f(x) = 0 \) - Для \( 0 x \leq 2 \): \( f(x) = \frac{x}{2} \) (линейная функция) - Для \( x 2 \): \( f(x) = 0 \) a) \( P(X 1) \): \[ P(X 1) = F(1) = \frac{1^{2}}{4} = \frac{1}{4} \] b) \( P(X \geq 1) \): \[ P(X \geq 1) = 1 - P(X 1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] c) \( P(-4 X \leq 1) \): \[ P(-4 X \leq 1) = P(X \leq 1) = F(1) = \frac{1}{4} \] d) \( P(1 \leq X 5) \): \[ P(1 \leq X 5) = P(X 5) - P(X 1) = F(5) - F(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Для нахождения математического ожидания \( M(X) \) используем формулу: \[ M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \] Подставляем \( f(x) \): \[ M(X) = \int{0}^{2} \frac{x^2}{2} \, dx \] Вычисляем интеграл: \[ M(X) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^3}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] Теперь найдем дисперсию \( D(X) \): \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \] Сначала найдем \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = \int{0}^{2} \frac{x^3}{2} \, dx \] Вычисляем интеграл: \[ M(X^2) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^4}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \] Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9} \] 1. Функция плотности \( f(x) \): \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{c} 0, \quad x \leq 0 \\ \frac{x}{2}, \quad 0 x \leq 2 \\ 0, \quad x 2 \end{array} \right. \] 2. Графики \( F(x) \) и \( f(x) \) можно построить на координатной плоскости. 3. Вероятности: - \( P(X 1) = \frac{1}{4} \) - \( P(X \geq 1) = \frac{3}{4} \) - \( P(-4 X \leq 1) = \frac{1}{4} \) - \( P(1 \leq X 5) = \frac{3}{4} \) 4. Математическое ожидание \( M(X) = \frac{4}{3} \), дисперсия \( D(X) = \frac{2}{9} \).