Случайная величина задана функцией распределения Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Условие:

Случайная величина $X$ задана функцией распределения $F(x)$ $ F(x)=\left{

\begin{array}{ll} 0, & x \leq 0 \1-\cos 3 x, & 0<x \leq \pi / 6 \1, & x>\pi / 6 \end{array}

Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Функция распределения дана в виде:
Для x ≤ 0: F(x) = 0;
Для 0 < x ≤ π/6: F(x) = 1 – cos(3x);
Для x > π/6: F(x) =
1.
Функция плотности f(x) получается как производная функции распределения:
Для x в (0; π/6]: f(x) = d/dx[1 – cos(3x)] = 3 sin(3x).
Для остальных x f(x) = 0.
Таким образом, f(x) = 3 sin(3x) при 0 < x ≤ π/6, и 0 в остальных случаях.
Найдем математическое ожидание E[X]. Оно вычисляется по формуле:
\tE[X] = ∫[от 0 до π/6] x · f(x) dx = 3 ∫[0 до π/6] x sin(3x) dx.
Вычислим инт...