Дискретные случайные величины Вариант 1 Случайная величина X задана таблицей распределения a) Найдите a ; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите M(X), D(X), σ(X).

Для решения задачи, давайте пройдемся по каждому пункту по порядку.

a) Найдите \( a ...

Сначала мы знаем, что сумма всех вероятностей должна равняться 1. В нашей таблице распределения вероятностей: \[ p2 + p4 = 1 \] где \( p2 = 0,5 \), \( p4 = a \). Подставим известные значения: \[ 0,2 + 0,5 + 0,2 + a = 1 \] Теперь сложим известные вероятности: \[ 0,2 + 0,5 + 0,2 = 0,9 \] Теперь у нас есть уравнение: \[ 0,9 + a = 1 \] Решим его для \( a \): \[ a = 1 - 0,9 = 0,1 \] Таким образом, \( a = 0,1 \). Теперь, когда мы знаем все вероятности, можем построить многоугольник распределения. У нас есть следующие значения: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline X p \\ \hline 5 0,2 \\ 7 0,5 \\ 10 0,2 \\ 15 0,1 \\ \hline \end{array} \] Для построения многоугольника распределения, мы можем использовать кумулятивные вероятности: - Для \( X = 5 \): \( P(X \leq 5) = 0,2 \) - Для \( X = 7 \): \( P(X \leq 7) = 0,2 + 0,5 = 0,7 \) - Для \( X = 10 \): \( P(X \leq 10) = 0,7 + 0,2 = 0,9 \) - Для \( X = 15 \): \( P(X \leq 15) = 0,9 + 0,1 = 1,0 \) Теперь мы можем построить многоугольник распределения, используя точки: - (5, 0,2) - (7, 0,7) - (10, 0,9) - (15, 1,0) Теперь найдем математическое ожидание \( \mathrm{M}(X) \): \[ \mathrm{M}(X) = \sum (Xi) \] Подставим значения: \[ \mathrm{M}(X) = 5 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,2 + 15 \cdot 0,1 \] Вычислим: \[ \mathrm{M}(X) = 1 + 3,5 + 2 + 1,5 = 8 \] Теперь найдем дисперсию \( D(X) \): \[ D(X) = \sum (Xi) - (\mathrm{M}(X))^2 \] Сначала найдем \( \sum (Xi) \): \[ \sum (Xi) = 5^2 \cdot 0,2 + 7^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,2 + 15^2 \cdot 0,1 \] Вычислим: \[ = 25 \cdot 0,2 + 49 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,2 + 225 \cdot 0,1 \] \[ = 5 + 24,5 + 20 + 22,5 = 72 \] Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = 72 - 8^2 = 72 - 64 = 8 \] Теперь найдем стандартное отклонение \( \sigma(X) \): \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{8} \approx 2,83 \] - \( a = 0,1 \) - Многоугольник распределения построен. - \( \mathrm{M}(X) = 8 \) - \( D(X) = 8 \) - \( \sigma(X) \approx 2,83 \)