Вариант 12 1. В группе из 5 изделий имеется одно бракованное. Вынимают наугад по одному изделию и проверяют его. Х - число извлеченных деталей до обнаружения бракованной. Составьте закон распределения случайной величины Х, вычислите ее математическое

Для решения задачи о случайной величине \(X\), которая представляет собой количество извлеченных деталей до обна...

В группе из 5 изделий одно бракованное. Следовательно, есть 4 исправных изделия. Мы будем извлекать изделия до тех пор, пока не найдем бракованное. - Вероятность того, что бракованное изделие будет найдено с первого раза (то есть \(X = 1\)): \[ P(X = 1) = \frac{1}{5} \] - Вероятность того, что первое изделие исправное, а второе бракованное (то есть \(X = 2\)): \[ P(X = 2) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5} \] - Вероятность того, что первые два изделия исправные, а третье бракованное (то есть \(X = 3\)): \[ P(X = 3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5} \] - Вероятность того, что первые три изделия исправные, а четвертое бракованное (то есть \(X = 4\)): \[ P(X = 4) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \] - Вероятность того, что первые четыре изделия исправные, а пятое бракованное (то есть \(X = 5\)): \[ P(X = 5) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{5} \] Таким образом, закон распределения случайной величины \(X\) можно записать следующим образом: \[ \begin{align*} P(X = 1) = \frac{1}{5} \\ P(X = 2) = \frac{1}{5} \\ P(X = 3) = \frac{1}{5} \\ P(X = 4) = \frac{1}{5} \\ P(X = 5) = \frac{1}{5} \\ \end{align*} \] Математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле: \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot P(X = i) \] Подставим значения: \[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5} \] \[ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \] Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдем \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} i^2 \cdot P(X = i) \] Подставим значения: \[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{5} + 2^2 \cdot \frac{1}{5} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} + 5^2 \cdot \frac{1}{5} \] \[ E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} = \frac{55}{5} = 11 \] Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = 11 - 3^2 = 11 - 9 = 2 \] Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X)\) вычисляется как: \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2} \] Функция распределения \(F(x)\) определяется как: \[ F(x) = P(X \leq x) \] Для нашего случая: \[ \begin{align*} F(1) = P(X = 1) = \frac{1}{5} \\ F(2) = P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \\ F(3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{3}{5} \\ F(4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{4}{5} \\ F(5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1 \\ \end{align*} \] График функции распределения будет представлять собой ступенчатую функцию, где значения \(F(x)\) будут увеличиваться на \(\frac{1}{5}\) при каждом увеличении \(x\) на 1. - Закон распределения: \[ \begin{align*} P(X = 1) = \frac{1}{5} \\ P(X = 2) = \frac{1}{5} \\ P(X = 3) = \frac{1}{5} \\ P(X = 4) = \frac{1}{5} \\ P(X = 5) = \frac{1}{5} \\ \end{align*} \] - Математическое ожидание \(E(X) = 3\) - Дисперсия \(D(X) = 2\) - Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X) = \sqrt{2}\) График функции распределения можно построить, используя значения \(F(x)\) для \(x = 1, 2, 3, 4, 5\).