В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз.

Для решения данной задачи мы будем использовать локальную теорему Муавра-Лапласа, которая является приближением биномиального распределения нормальным распределением.

Шаг 1: Определим параметры биномиального распределения

Событие $A$ происходит с вероятностью $p = 0.4$ в каждом из $n = 500$ независимых испытаний.

• Ожидаемое значение (математическое ожидание) $E(X)$:

  $$E(X) = n \cdot p = 500 \cdot 0.4 = 200$$

• Дисперсия $D(X)$:

  $$D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 500 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 120$$

• Стандартное отклонение $\sigma$:

  $$\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{120} \approx 10.95$$

Шаг 2: Применение локальной теоремы Муавра-Лапласа

Согласно теореме, если $X$ — биномиальная случайная величина, то для больших $n$ она приближенно распределена нормально с параметрами $\mu = 200$ и $\sigma \approx 10.95$.

Шаг 3: Нахождение вероятности того, что событие A происходит точно 220 раз

Для нахождения вероятности того, что событие $A$ происходит точно 220 раз, мы используем нормальное распределение:

1. Находим стандартное нормальное отклонение:
   $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{220 - 200}{10.95} \approx 1.83$$
   ...